Как изменится выражение, если мы возьмем логарифм от х и выражим его через логарифмы a, b

Svetlyachok_V_Nochi

54

Для того чтобы изменить выражение \( \log x \) через логарифмы \( \log a \) и \( \log b \), воспользуемся свойствами логарифмов и формулами замены основания.

Первое свойство, которое мы будем использовать, - это правило суммы для логарифмов. Оно гласит, что \( \log(ab) = \log a + \log b \).

Также, воспользуемся формулой замены основания логарифма. Согласно этой формуле, \( \log_a x = \frac{{\log_b x}}{{\log_b a}} \).

Теперь давайте проделаем пошаговые преобразования:

1. Начнем с выражения \( \log x \).
2. Применим формулу замены основания: \( \log x = \frac{{\log a}}{{\log a}} \cdot \log x \).
3. Используем свойство суммы логарифмов: \( \frac{{\log a}}{{\log a}} \cdot \log x = \frac{{\log a + \log x}}{{\log a}} \).
4. Делаем замену выражения \( \log a + \log x \) через логарифмы \( \log a \) и \( \log x \) с помощью свойства суммы: \( \frac{{\log a + \log x}}{{\log a}} = \frac{{\log (a \cdot x)}}{{\log a}} \).

Итак, мы получили новое выражение \( \frac{{\log (a \cdot x)}}{{\log a}} \), которое выражает \( \log x \) через логарифмы \( \log a \) и \( \log b \).