Как можно доказать, что угол ABH равен углу ACH в остроугольном треугольнике ABC, где H - ортоцентр?

Fontan

16

Чтобы доказать, что угол ABH равен углу ACH в остроугольном треугольнике ABC, где H - ортоцентр, нужно использовать свойства ортоцентра и остроугольного треугольника.

1. Ортоцентр H - точка пересечения высот треугольника ABC. Определено, что углы, образованные сторонами треугольника и их высотами, равны поровну углам, образованным противоположными сторонами. То есть, если мы докажем, что высота, проведенная из вершины A к стороне BC, делит угол ABC и угол ACB пополам, то мы сможем утверждать, что угол ABH равен углу ACH.

2. Проведем высоту из вершины A к стороне BC и обозначим точку пересечения этой высоты с стороной BC как точку D.

3. Рассмотрим треугольники ABD и ACD. У них общая сторона AD и углы BAD и CAD являются прямыми углами, так как AD является высотой.

4. Так как мы показываем, что угол ABH равен углу ACH, то у нас есть следующие равенства углов: угол BAD равен углу CAD (половина углов BAC и BCA), угол ABD равен углу ACD (здесь у нас используются свойства треугольника и построенной высоты).

5. По свойству углов треугольника, сумма всех углов треугольника равна 180 градусов. Значит, угол B равен углу C.

Таким образом, мы доказали, что угол ABH равен углу ACH в остроугольном треугольнике ABC, где H - ортоцентр.