Как найти давление на уровне моря, исходя из данных о давлении на метеостанции, расположенной на высоте 250 м и широте

Карамелька

45

Задача: Как найти давление на уровне моря, исходя из данных о давлении на метеостанции, расположенной на высоте 250 м и широте 65º с. ш., при температуре воздуха 14ºС?

Решение:

Для решения этой задачи нам понадобятся несколько формул. Одна из них - формула изменения давления с высотой, известная как формула Барометра:

\[P = P_0 \cdot \left(1 - \frac{L \cdot h}{T}\right)^{\frac{g \cdot M}{R \cdot L}}\]

где:
\(P\) - искомое давление на уровне моря,
\(P_0\) - известное давление на метеостанции,
\(L\) - температурная лапласиана для сухого воздуха (0,0065 К/м),
\(h\) - высота метеостанции (250 м),
\(T\) - температура на метеостанции (в Кельвинах),
\(g\) - ускорение свободного падения (9,8 м/с²),
\(M\) - молярная масса сухого воздуха (0,029 кг/моль),
\(R\) - универсальная газовая постоянная (8,314 Дж/(моль·К)).

Теперь проведем расчеты:

Сначала переведем температуру из градусов Цельсия в Кельвины:

\(T = 14 + 273.15 = 287.15 \, \text{K}\)

Теперь используем формулу Барометра, подставляя известные значения:

\[
P = 1015 \cdot \left(1 - \frac{0.0065 \cdot 250}{287.15}\right)^{\frac{9.8 \cdot 0.029}{8.314 \cdot 0.0065}}
\]

После вычислений получаем:

\[
P \approx 1013.09 \, \text{гПа}
\]

Таким образом, давление на уровне моря составляет приблизительно 1013.09 гПа.

Задача 1: Если давление воздуха составляет 1015 гПа и температура воздуха 24°C у подножия горы, а на вершине горы давление равно 990 гПа и температура воздуха 16,0°C, какова высота горы?

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся принципом Архимеда, законом изменения давления с высотой и уравнением состояния идеального газа.

Для начала переведем температуру воздуха из градусов Цельсия в Кельвины:

Для подножия горы:

\(T_1 = 24 + 273.15 = 297.15 \, \text{K}\)

Для вершины горы:

\(T_2 = 16 + 273.15 = 289.15 \, \text{K}\)

Теперь воспользуемся законом изменения давления с высотой, чтобы найти разность высот:

\(\Delta P = P_2 - P_1 = \rho \cdot g \cdot \Delta h\)

где:
\(\Delta P\) - разность давления,
\(P_2\) - давление на вершине горы,
\(P_1\) - давление у подножия горы,
\(\rho\) - плотность воздуха (\(\approx 1.225 \, \text{кг/м}^3\) для нормальных условий),
\(g\) - ускорение свободного падения (\(9.8 \, \text{м/с}^2\)),
\(\Delta h\) - разность высот.

Теперь проведем расчеты:

\(\Delta P = 990 - 1015 = -25 \, \text{гПа}\)

\(\Delta h = \frac{\Delta P}{\rho \cdot g} = \frac{-25 \times 100}{1.225 \times 9.8} \, \text{м} \approx -2040.82 \, \text{м}\)

Минус перед результатом указывает на то, что высота горы на самом деле отрицательная (ниже уровня моря). Чтобы получить положительное значение, просто поменяем местами значения высоты:

\(h = -(-2040.82) \, \text{м} \approx 2040.82 \, \text{м}\)

Таким образом, высота горы составляет примерно 2040.82 метра.

Задача 2: Если атмосферное давление на уровне моря составляет 1040 гПа, на какой высоте атмосферное давление уменьшается в два раза при температуре воздуха 0°C на всей высоте?

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся формулой изменения давления с высотой (формула Барометра) и уравнением состояния идеального газа.

Сначала переведем температуру из градусов Цельсия в Кельвины:

\(T = 0 + 273.15 = 273.15 \, \text{K}\)

Подставим значения в формулу Барометра:

\(P = P_0 \cdot \left(1 - \frac{L \cdot h}{T}\right)^{\frac{g \cdot M}{R \cdot L}}\)

где:
\(P\) - искомое давление (в два раза меньше исходного),
\(P_0\) - давление на уровне моря (1040 гПа),
\(L\) - температурная лапласиана для сухого воздуха (0,0065 К/м),
\(h\) - искомая высота,
\(T\) - температура (в Кельвинах),
\(g\) - ускорение свободного падения (9,8 м/с²),
\(M\) - молярная масса сухого воздуха (0,029 кг/моль),
\(R\) - универсальная газовая постоянная (8,314 Дж/(моль·К)).

Подставляя известные значения и решая уравнение относительно \(h\), получаем:

\[
h = \frac{T}{L} \cdot \ln\left(\frac{P_0}{P}\right) \approx \frac{273.15}{0.0065} \cdot \ln\left(\frac{1040}{520}\right) \approx 41930.77 \, \text{м}
\]

Таким образом, атмосферное давление уменьшается в два раза на высоте примерно 41930.77 метров при температуре воздуха 0°C на всей высоте.