Как найти давление на уровне моря, исходя из данных о давлении на метеостанции, расположенной на высоте 250 м и широте

Карамелька

45

Задача: Как найти давление на уровне моря, исходя из данных о давлении на метеостанции, расположенной на высоте 250 м и широте 65º с. ш., при температуре воздуха 14ºС?

Решение:

Для решения этой задачи нам понадобятся несколько формул. Одна из них - формула изменения давления с высотой, известная как формула Барометра:

$$P=P_0\cdot {(1-\frac{L\cdot h}{T})}^{\frac{g\cdot M}{R\cdot L}}$$

где:
$P$ - искомое давление на уровне моря,
$P_0$ - известное давление на метеостанции,
$L$ - температурная лапласиана для сухого воздуха (0,0065 К/м),
$h$ - высота метеостанции (250 м),
$T$ - температура на метеостанции (в Кельвинах),
$g$ - ускорение свободного падения (9,8 м/с²),
$M$ - молярная масса сухого воздуха (0,029 кг/моль),
$R$ - универсальная газовая постоянная (8,314 Дж/(моль·К)).

Теперь проведем расчеты:

Сначала переведем температуру из градусов Цельсия в Кельвины:

$T=14+273.15=287.15\text{K}$

Теперь используем формулу Барометра, подставляя известные значения:

$$P=1015\cdot {(1-\frac{0.0065\cdot 250}{287.15})}^{\frac{9.8\cdot 0.029}{8.314\cdot 0.0065}}$$

После вычислений получаем:

$$P\approx 1013.09\text{гПа}$$

Таким образом, давление на уровне моря составляет приблизительно 1013.09 гПа.

Задача 1: Если давление воздуха составляет 1015 гПа и температура воздуха 24°C у подножия горы, а на вершине горы давление равно 990 гПа и температура воздуха 16,0°C, какова высота горы?

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся принципом Архимеда, законом изменения давления с высотой и уравнением состояния идеального газа.

Для начала переведем температуру воздуха из градусов Цельсия в Кельвины:

Для подножия горы:

$T_1=24+273.15=297.15\text{K}$

Для вершины горы:

$T_2=16+273.15=289.15\text{K}$

Теперь воспользуемся законом изменения давления с высотой, чтобы найти разность высот:

$\mathrm{\Delta }P=P_2-P_1=\rho \cdot g\cdot \mathrm{\Delta }h$

где:
$\mathrm{\Delta }P$ - разность давления,
$P_2$ - давление на вершине горы,
$P_1$ - давление у подножия горы,
$\rho$ - плотность воздуха ($\approx 1.225{\text{кг/м}}^3$ для нормальных условий),
$g$ - ускорение свободного падения ($9.8{\text{м/с}}^2$),
$\mathrm{\Delta }h$ - разность высот.

Теперь проведем расчеты:

$\mathrm{\Delta }P=990-1015=-25\text{гПа}$

$\mathrm{\Delta }h=\frac{\mathrm{\Delta }P}{\rho \cdot g}=\frac{-25\times 100}{1.225\times 9.8}\text{м}\approx -2040.82\text{м}$

Минус перед результатом указывает на то, что высота горы на самом деле отрицательная (ниже уровня моря). Чтобы получить положительное значение, просто поменяем местами значения высоты:

$h=-(-2040.82)\text{м}\approx 2040.82\text{м}$

Таким образом, высота горы составляет примерно 2040.82 метра.

Задача 2: Если атмосферное давление на уровне моря составляет 1040 гПа, на какой высоте атмосферное давление уменьшается в два раза при температуре воздуха 0°C на всей высоте?

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся формулой изменения давления с высотой (формула Барометра) и уравнением состояния идеального газа.

Сначала переведем температуру из градусов Цельсия в Кельвины:

$T=0+273.15=273.15\text{K}$

Подставим значения в формулу Барометра:

$P=P_0\cdot {(1-\frac{L\cdot h}{T})}^{\frac{g\cdot M}{R\cdot L}}$

где:
$P$ - искомое давление (в два раза меньше исходного),
$P_0$ - давление на уровне моря (1040 гПа),
$L$ - температурная лапласиана для сухого воздуха (0,0065 К/м),
$h$ - искомая высота,
$T$ - температура (в Кельвинах),
$g$ - ускорение свободного падения (9,8 м/с²),
$M$ - молярная масса сухого воздуха (0,029 кг/моль),
$R$ - универсальная газовая постоянная (8,314 Дж/(моль·К)).

Подставляя известные значения и решая уравнение относительно $h$, получаем:

$$h=\frac{T}{L}\cdot \ln \left(\frac{P_0}{P}\right)\approx \frac{273.15}{0.0065}\cdot \ln \left(\frac{1040}{520}\right)\approx 41930.77\text{м}$$

Таким образом, атмосферное давление уменьшается в два раза на высоте примерно 41930.77 метров при температуре воздуха 0°C на всей высоте.