Как найти комплексное число z, если z = (1-i)^100 / (корень 3+i)^50?

Tigressa

46

Чтобы найти комплексное число \( z \), которое является результатом выражения \( z = \frac{(1-i)^{100}}{(\sqrt{3}+i)^{50}} \), нам нужно решить эту задачу шаг за шагом. Давайте начнем!

Шаг 1: Рассмотрим числитель \((1-i)^{100}\).
Чтобы возвести выражение \((1-i)\) в степень 100, мы можем воспользоваться формулой Бинома Ньютона. Эта формула гласит:
\[ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k} \]

В данном случае \( a = 1 \), \( b = -i \) и \( n = 100 \). Таким образом, мы можем записать:
\[ (1-i)^{100} = \sum_{k=0}^{100} \binom{100}{k} 1^{100-k} (-i)^{k} \]

Шаг 2: Вычисляем биномиальные коэффициенты.
Биномиальные коэффициенты \(\binom{n}{k}\) представляют собой числа, которые определяются следующей формулой:
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

В нашем случае, где \( n = 100 \) и \( k \) меняется от 0 до 100, мы можем вычислить все биномиальные коэффициенты, используя эту формулу.

Шаг 3: Заменяем биномиальные коэффициенты в выражении.
Теперь, когда у нас есть биномиальные коэффициенты, мы можем заменить их в исходном выражении:
\[ (1-i)^{100} = \sum_{k=0}^{100} \binom{100}{k} 1^{100-k} (-i)^{k} \]

Шаг 4: Обрабатываем знаменатель \((\sqrt{3}+i)^{50}\).
Для возведения \((\sqrt{3}+i)\) в 50-ю степень мы можем применить ту же формулу Бинома Ньютона, которую использовали в шаге 1.

Шаг 5: Выражение для \( z \).
Теперь мы можем подставить значения числителя и знаменателя в исходное выражение:
\[ z = \frac{(1-i)^{100}}{(\sqrt{3}+i)^{50}} \]

Подставьте найденные значения и примените арифметические операции, чтобы вычислить \( z \).

Таким образом, применив все эти шаги, вы сможете найти значение комплексного числа \( z \). Не стесняйтесь задавать вопросы, если что-то непонятно!