Как найти комплексное число z, если z = (1-i)^100 / (корень 3+i)^50?

Tigressa

46

Чтобы найти комплексное число $z$, которое является результатом выражения $z=\frac{(1-i{)}^{100}}{(\sqrt{3}+i{)}^{50}}$, нам нужно решить эту задачу шаг за шагом. Давайте начнем!

Шаг 1: Рассмотрим числитель $(1-i{)}^{100}$.
Чтобы возвести выражение $(1-i)$ в степень 100, мы можем воспользоваться формулой Бинома Ньютона. Эта формула гласит:
$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k$$

В данном случае $a=1$, $b=-i$ и $n=100$. Таким образом, мы можем записать:
$$(1-i{)}^{100}=\sum _{k=0}^{100}(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{k})1^{100-k}(-i{)}^k$$

Шаг 2: Вычисляем биномиальные коэффициенты.
Биномиальные коэффициенты $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ представляют собой числа, которые определяются следующей формулой:
$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

В нашем случае, где $n=100$ и $k$ меняется от 0 до 100, мы можем вычислить все биномиальные коэффициенты, используя эту формулу.

Шаг 3: Заменяем биномиальные коэффициенты в выражении.
Теперь, когда у нас есть биномиальные коэффициенты, мы можем заменить их в исходном выражении:
$$(1-i{)}^{100}=\sum _{k=0}^{100}(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{k})1^{100-k}(-i{)}^k$$

Шаг 4: Обрабатываем знаменатель $(\sqrt{3}+i{)}^{50}$.
Для возведения $(\sqrt{3}+i)$ в 50-ю степень мы можем применить ту же формулу Бинома Ньютона, которую использовали в шаге 1.

Шаг 5: Выражение для $z$.
Теперь мы можем подставить значения числителя и знаменателя в исходное выражение:
$$z=\frac{(1-i{)}^{100}}{(\sqrt{3}+i{)}^{50}}$$

Подставьте найденные значения и примените арифметические операции, чтобы вычислить $z$.

Таким образом, применив все эти шаги, вы сможете найти значение комплексного числа $z$. Не стесняйтесь задавать вопросы, если что-то непонятно!