Как найти координаты магазина, чтобы сумма расстояний от всех домов до магазина была минимальной? Известны координаты

Lyalya

44

Чтобы найти координаты магазина, чтобы сумма расстояний от всех домов до магазина была минимальной, мы можем использовать метод наименьших квадратов. Для этого нам нужно найти сумму расстояний от каждого дома до произвольной точки (x, y) и минимизировать эту сумму.

Давайте рассмотрим каждый дом по отдельности и найдем расстояние от каждого дома до произвольной точки (x, y) с помощью формулы расстояния между двумя точками на плоскости:

\[d = \sqrt{{(x - x_1)}^2 + {(y - y_1)}^2}\]

где (x_1, y_1) - координаты дома.

Теперь, чтобы найти сумму расстояний от всех домов до произвольной точки (x, y), мы просто сложим расстояния от каждого дома:

\[S = \sum_{i=1}^{4} \sqrt{{(x - x_i)}^2 + {(y - y_i)}^2}\]

где (x_i, y_i) - координаты i-ого дома.

Следующий шаг, чтобы найти координаты магазина, это минимизировать сумму S. Для этого мы можем взять производные по x и y, приравнять их к нулю и решить систему уравнений. Однако, в данном случае мы можем воспользоваться готовым результатом, что наименьшая сумма будет достигаться в точке, где сумма проекций координат x и y будет минимальной.

Таким образом, мы можем просто взять среднее арифметическое координат x и y всех домов, чтобы найти координаты магазина:

\[x_{\text{магазина}} = \frac{{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}}{4}\]
\[y_{\text{магазина}} = \frac{{y_1 + y_2 + y_3 + y_4}}{4}\]

Применяя эти формулы к данным координатам домов, получим:

\[x_{\text{магазина}} = \frac{{1 + 3 + 4 + 9}}{4} = \frac{{17}}{4} = 4.25\]
\[y_{\text{магазина}} = \frac{{2 + 3 + 12 + 25}}{4} = \frac{{42}}{4} = 10.5\]

Таким образом, координаты магазина, при которых сумма расстояний от всех домов будет минимальной, составляют (4.25, 10.5) с точностью до двух знаков после запятой.