Как найти размеры катетов прямоугольного треугольника, при заданной длине гипотенузы с, чтобы достичь максимально

Артемий

27

Для решения данной задачи мы можем использовать геометрическую и алгебраическую модели. Давайте начнем с геометрической модели.

Представим себе прямоугольный треугольник со сторонами \(a\), \(b\) и гипотенузой \(c\). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов. Наша цель - найти такие значения \(a\) и \(b\), чтобы получить максимально возможную площадь.

Мы знаем из теоремы Пифагора, что \(c^2 = a^2 + b^2\). Можем выразить один из катетов через другой: \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\).

Теперь давайте записывать выражение для площади треугольника. Пусть \(S\) - площадь прямоугольного треугольника. Тогда

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{c^2 - a^2}\]

Теперь у нас есть геометрическая модель и уравнение для нахождения площади треугольника в зависимости от длины катета \(a\). Чтобы найти максимально возможную площадь, нужно найти значение \(a\), при котором производная функции \(S\) по \(a\) равна нулю.

Посчитаем производную:

\[\frac{dS}{da} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{c^2 - a^2} - \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\sqrt{c^2 - a^2}}} \cdot (-2a)\]
\[\frac{dS}{da} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{c^2 - a^2} + \frac{a^2}{\sqrt{c^2 - a^2}}\]

Теперь приравняем производную к нулю:

\[\frac{1}{2} \cdot \sqrt{c^2 - a^2} + \frac{a^2}{\sqrt{c^2 - a^2}} = 0\]

Перенесем одно слагаемое в другую часть уравнения:

\[\frac{a^2}{\sqrt{c^2 - a^2}} = -\frac{1}{2} \cdot \sqrt{c^2 - a^2}\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[a^4 = \left(-\frac{1}{2} \cdot \sqrt{c^2 - a^2}\right)^2\]

Упростим:

\[a^4 = \frac{1}{4} \cdot (c^2 - a^2)\]

Раскроем скобки:

\[4a^4 = c^2 - a^2\]

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

\[4a^4 + a^2 - c^2 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение с неизвестной \(a\). Можно использовать формулу дискриминанта, чтобы найти значения \(a\). Но так как нас интересует только положительное значение \(a\), у нас будет только одно решение.

\[a = \sqrt{\frac{{-1 + \sqrt{1 + 16 \cdot c^2}}}{8}}\]

Теперь мы можем найти значение \(b\) с использованием \(a\) и \(c\):

\[b = \sqrt{c^2 - a^2}\]

Таким образом, мы нашли размеры катетов прямоугольного треугольника при заданной длине гипотенузы \(c\), чтобы достичь максимально возможной площади.