Как решить уравнение (x-1)=(x+(-1))², используя формулу (a+b) ²=a²+2ab+b²?

Parovoz

66

Хорошо! Давайте решим данное уравнение пошагово.

У нас дано уравнение: \((x-1) = (x+(-1))^2\)

1. Первым делом раскроем квадрат в правой части уравнения, используя формулу \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\):

\((x-1) = (x^2 + 2 \cdot x \cdot (-1) + (-1)^2)\)

Продолжим упрощение:

\((x-1) = (x^2 - 2x + 1)\)

2. Теперь объединим оба члена уравнения на одной стороне, чтобы получить квадратное уравнение:

\((x-1) - (x^2 - 2x + 1) = 0\)

Раскроем скобки и продолжим упрощение:

\(x - 1 - x^2 + 2x - 1 = 0\)

Получаем:

\(-x^2 + 3x - 2 = 0\)

3. Перенесем все члены уравнения в левую часть:

\(-x^2 + 3x - 2 = 0\)

Перенесем -2 на правую сторону, меняя знак:

\(-x^2 + 3x = 2\)

4. Чтобы решить квадратное уравнение, мы можем использовать формулу дискриминанта:

Дискриминант (\(D\)) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

В данном случае \(a = -1\), \(b = 3\) и \(c = -2\), поэтому:

\(D = 3^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-2)\)

\(D = 9 - 8\)

\(D = 1\)

Дискриминант равен 1.

5. Теперь, исходя из значения дискриминанта, мы можем определить количество решений уравнения:
- Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных решения.
- Если \(D = 0\), то уравнение имеет одно решение (корень кратности 2).
- Если \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных решений.

В нашем случае \(D = 1\), что означает, что уравнение имеет два различных решения.

6. Чтобы найти эти решения, мы можем использовать формулу квадратного уравнения:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

В нашем случае \(a = -1\) и \(b = 3\), поэтому:

\(x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot (-1)}\)

Упростим:

\(x = \frac{-3 \pm 1}{-2}\)

Теперь найдем два возможных значения \(x\):

a) \(x = \frac{-3 + 1}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1\)

b) \(x = \frac{-3 - 1}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2\)

Итак, решения уравнения \((x-1) = (x+(-1))^2\) равны \(x = 1\) и \(x = 2\).

Вот и все! Мы успешно решили данное уравнение, используя формулу \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) и формулу квадратного уравнения. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!