Как составить многочлен первой степени, выполняющий функцию усреднения?

Yaksha_3749

53

Конечно, я могу помочь вам составить многочлен первой степени, который выполняет функцию усреднения. Для начала рассмотрим, что такое функция усреднения.

Функция усреднения используется для нахождения среднего значения двух или более чисел. В данном случае мы хотим составить многочлен, который будет принимать на вход два числа и выдавать их среднее значение.

Пусть наш многочлен имеет вид \(f(x) = ax + b\), где \(a\) и \(b\) - некоторые постоянные коэффициенты. Мы хотим, чтобы этот многочлен при подстановке двух чисел \(x_1\) и \(x_2\) возвращал их среднее значение. То есть, мы хотим, чтобы выполнялось следующее:

\[f(x_1) = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\]
\[f(x_2) = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\]

Подставим значения функции \(f(x)\) в эти уравнения:

\[ax_1 + b = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\]
\[ax_2 + b = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\]

Теперь нужно решить эту систему уравнений относительно \(a\) и \(b\). Из первого уравнения мы можем выразить \(b\):

\[b = \frac{{x_1 + x_2}}{2} - ax_1\]

Подставим это значение для \(b\) во второе уравнение:

\[ax_2 + \left(\frac{{x_1 + x_2}}{2} - ax_1\right) = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\]

Раскроем скобки:

\[ax_2 + \frac{{x_1 + x_2}}{2} - ax_1 = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\]

Упростим уравнение:

\[ax_2 - ax_1 = 0\]

Факторизуем уравнение:

\[a(x_2 - x_1) = 0\]

Так как \(x_2 \neq x_1\), это значит, что \(a = 0\).

Теперь, когда мы знаем значение \(a\), мы можем найти \(b\):

\[b = \frac{{x_1 + x_2}}{2} - ax_1 = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\]

Таким образом, многочлен первой степени, выполняющий функцию усреднения, имеет вид:

\[f(x) = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\]

Где \(x_1\) и \(x_2\) - два числа, для которых мы хотим найти среднее значение.