Как связаны друг с другом ненулевые координаты векторов

Изумрудный_Дракон

53

Связь между ненулевыми координатами векторов проявляется через их линейную комбинацию. Давайте рассмотрим два вектора в двумерном пространстве \( \mathbb{R}^2 \) для примера, но это обобщается и на другие размерности.

Пусть у нас есть два вектора \( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} \) и \( \mathbf{w} = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix} \) с ненулевыми координатами. Через линейную комбинацию векторов можно получить новый вектор \( \mathbf{u} \), который выражается следующим образом:

\[ \mathbf{u} = c \cdot \mathbf{v} + d \cdot \mathbf{w} \]

где \( c \) и \( d \) - любые числа (коэффициенты), не равные нулю.

Раскроем формулу для вектора \( \mathbf{u} \), используя значения координат:

\[ \mathbf{u} = c \cdot \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} + d \cdot \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \cdot v_1 + d \cdot w_1 \\ c \cdot v_2 + d \cdot w_2 \end{bmatrix} \]

Таким образом, ненулевые координаты вектора \( \mathbf{u} \) связаны с ненулевыми координатами векторов \( \mathbf{v} \) и \( \mathbf{w} \) через линейную комбинацию с соответствующими коэффициентами \( c \) и \( d \).

Важно отметить, что это обобщение применимо не только для двумерного пространства, но и для трехмерного пространства \( \mathbb{R}^3 \) и выше. В этом случае мы будем иметь три и более координаты для каждого вектора.

Надеюсь, данное объяснение позволило вам понять связь между ненулевыми координатами векторов через линейную комбинацию.