Как выразить векторы х и у, если известно, что а=х+у и b=x-y? а) Как выразить х и у векторы в выражении 1:2а+3b?

  • 7
Как выразить векторы х и у, если известно, что а=х+у и b=x-y? а) Как выразить х и у векторы в выражении 1:2а+3b? б) Как выразить х и у векторы в выражении 4a-2:3b? V) Как выразить х и у векторы в выражении -0,3a-1:4b?
Лариса
65
Давайте рассмотрим каждую задачу по отдельности:

а) Для того чтобы выразить векторы \(\mathbf{x}\) и \(\mathbf{y}\) в выражении \(1:2\mathbf{a}+3\mathbf{b}\), мы можем использовать известные соотношения \(\mathbf{a}=\mathbf{x}+\mathbf{y}\) и \(\mathbf{b}=\mathbf{x}-\mathbf{y}\).

Заметим, что \(1:2\mathbf{a} = \frac{1}{2}\mathbf{a}+\frac{1}{2}\mathbf{a}\). Подставим значения \(\mathbf{a}=\mathbf{x}+\mathbf{y}\) и \(\mathbf{b}=\mathbf{x}-\mathbf{y}\) в данное выражение:

\[\frac{1}{2}(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\frac{1}{2}(\mathbf{x}+\mathbf{y}) + 3(\mathbf{x}-\mathbf{y})\]

Упростим данное выражение:

\[\frac{1}{2}\mathbf{x}+\frac{1}{2}\mathbf{y}+\frac{1}{2}\mathbf{x}+\frac{1}{2}\mathbf{y} + 3\mathbf{x}-3\mathbf{y}\]

После суммирования одинаковых слагаемых получим:

\[2\mathbf{x}-\frac{5}{2}\mathbf{y}\]

Таким образом, мы выразили векторы \(\mathbf{x}\) и \(\mathbf{y}\) в выражении \(1:2\mathbf{a}+3\mathbf{b}\) как \(2\mathbf{x}-\frac{5}{2}\mathbf{y}\).

б) Аналогично предыдущей задаче, мы можем выразить векторы \(\mathbf{x}\) и \(\mathbf{y}\) в выражении \(4\mathbf{a}-2:3\mathbf{b}\), используя известные соотношения \(\mathbf{a}=\mathbf{x}+\mathbf{y}\) и \(\mathbf{b}=\mathbf{x}-\mathbf{y}\).

Подставим значения \(\mathbf{a}=\mathbf{x}+\mathbf{y}\) и \(\mathbf{b}=\mathbf{x}-\mathbf{y}\) в данное выражение:

\[4(\mathbf{x}+\mathbf{y})-2:3(\mathbf{x}-\mathbf{y})\]

Упростим данное выражение:

\[4\mathbf{x}+4\mathbf{y}-\frac{2}{3}\mathbf{x}+\frac{2}{3}\mathbf{y}\]

Сгруппируем по векторам \(\mathbf{x}\) и \(\mathbf{y}\):

\[\left(4-\frac{2}{3}\right)\mathbf{x} + \left(4+\frac{2}{3}\right)\mathbf{y}\]

Далее, упростим полученное выражение:

\[\frac{10}{3}\mathbf{x}+\frac{14}{3}\mathbf{y}\]

Таким образом, мы выразили векторы \(\mathbf{x}\) и \(\mathbf{y}\) в выражении \(4\mathbf{a}-2:3\mathbf{b}\) как \(\frac{10}{3}\mathbf{x}+\frac{14}{3}\mathbf{y}\).

в) Аналогично предыдущим задачам, мы можем выразить векторы \(\mathbf{x}\) и \(\mathbf{y}\) в выражении \(-0.3\mathbf{a}-1:4\mathbf{b}\), используя известные соотношения \(\mathbf{a}=\mathbf{x}+\mathbf{y}\) и \(\mathbf{b}=\mathbf{x}-\mathbf{y}\).

Подставим значения \(\mathbf{a}=\mathbf{x}+\mathbf{y}\) и \(\mathbf{b}=\mathbf{x}-\mathbf{y}\) в данное выражение:

\[-0.3(\mathbf{x}+\mathbf{y})-1:4(\mathbf{x}-\mathbf{y})\]

Упростим данное выражение:

\[-0.3\mathbf{x}-0.3\mathbf{y}-\frac{1}{4}\mathbf{x}+\frac{1}{4}\mathbf{y}\]

Сгруппируем по векторам \(\mathbf{x}\) и \(\mathbf{y}\):

\[-\left(0.3+\frac{1}{4}\right)\mathbf{x} + \left(-0.3+\frac{1}{4}\right)\mathbf{y}\]

Далее, упростим полученное выражение:

\[-\frac{7}{12}\mathbf{x}-\frac{7}{12}\mathbf{y}\]

Таким образом, мы выразили векторы \(\mathbf{x}\) и \(\mathbf{y}\) в выражении \(-0.3\mathbf{a}-1:4\mathbf{b}\) как \(-0.3\mathbf{x}-0.3\mathbf{y}\).