Какая формула позволяет определить сумму масс компонентов физической двойной звезды на основе третьего закона Кеплера

Mandarin

31

Какой замечательный вопрос! Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться формулой, называемой массовым законом Шехтмана-Ньютонова.

Формула выглядит следующим образом:

\[M = \frac{{4\pi^2}}{{G (m_1 + m_2) / T^2}}\]

Где:
- \(M\) — суммарная масса компонентов физической двойной звезды,
- \(G\) — гравитационная постоянная (равна приблизительно \(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\))
- \(m_1\) и \(m_2\) — массы компонентов звезды,
- \(T\) — период обращения движущейся по орбите звезды.

Массы \(m_1\) и \(m_2\) должны быть измерены в одних и тех же единицах, например, в килограммах, а период \(T\) должен быть измерен в секундах.

Чтобы пояснить происхождение этой формулы, давайте разберемся, что такое третий закон Кеплера и обобщение Ньютона.

Третий закон Кеплера гласит, что квадрат периода обращения планеты (или, в нашем случае, двойной звезды) пропорционален кубу расстояния между планетой и центром его орбиты. То есть:

\[T^2 \sim r^3\]

С другой стороны, Ньютон обобщил закон всематемного тела и сформулировал его в виде:

\[F = \frac{{Gm_1m_2}}{{r^2}}\]

Где:
- \(F\) — сила гравитационного притяжения между двумя телами,
- \(G\) — гравитационная постоянная,
- \(m_1\) и \(m_2\) — массы этих тел,
- \(r\) — расстояние между телами.

Так как у нас есть период обращения звезды, мы можем выразить \(r\) из закона Кеплера:

\[r = \left(\frac{{G(m_1 + m_2)T^2}}{{4\pi^2}}\right)^{\frac{1}{3}}\]

Затем подставляем это выражение для \(r\) в закон Ньютона:

\[F = \frac{{Gm_1m_2}}{{\left(\frac{{G(m_1 + m_2)T^2}}{{4\pi^2}}\right)^{\frac{2}{3}}}}\]

Далее, мы можем использовать уравнение второго закона Ньютона \(F = ma\) и заменить ускорение \(a\) через \(g = GM/r^2\), где \(g\) — ускорение свободного падения на поверхности земли:

\[mg = \frac{{Gm_1m_2}}{{\left(\frac{{G(m_1 + m_2)T^2}}{{4\pi^2}}\right)^{\frac{2}{3}}}}\]

Массу звезды \(m\) можно упростить и выразить через суммарную массу \(M = m_1 + m_2\):

\[Mg = \frac{{GM^2}}{{\left(\frac{{GM}}{{4\pi^2}}T^2\right)^{\frac{2}{3}}}}\]

После сокращения \(G\) и преобразований, получим окончательное выражение:

\[M = \frac{{4\pi^2}}{{G (m_1 + m_2) / T^2}}\]

Эта формула позволяет определить суммарную массу компонентов физической двойной звезды на основе третьего закона Кеплера и обобщения Ньютона. Если у вас есть значения масс компонентов звезды и период обращения, вы можете использовать эту формулу, чтобы найти суммарную массу.