Какая первая скорость необходима для достижения космического пространства планетой Нептун, у которой плотность втрое

Skazochnaya_Princessa

44

Чтобы определить первую скорость, необходимую для достижения космического пространства планеты Нептун, нам понадобится использовать энергетические методы.

Первым шагом мы можем воспользоваться формулой потенциальной энергии \(U\) для тела на расстоянии \(R\) от центра планеты:

\[U = -\dfrac{GMm}{R},\]

где \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса планеты, \(m\) - масса тела, \(R\) - расстояние от центра планеты до тела.

Мы знаем, что плотность планеты Нептун втрое меньше, чем плотность Земли. Поскольку плотность \(D\) связана с массой \(M\) и радиусом \(R\) следующим образом: \(D = \dfrac{M}{V} = \dfrac{3M_{\text{Земли}}}{4\pi R_{\text{Нептун}}^3}\), где \(M_{\text{Земли}}\) - масса Земли, \(R_{\text{Нептун}}\) - радиус планеты Нептун.

Также у нас есть информация о том, что радиус планеты Нептун почти четыре раза больше, чем земной радиус \(R_{\text{Земли}}\). Значит, \(R_{\text{Нептун}} = 4R_{\text{Земли}}\).

Теперь мы можем рассчитать массу \(M\) планеты Нептун:

\[D = \dfrac{3M_{\text{Земли}}}{4\pi R_{\text{Нептун}}^3} \Rightarrow M = \dfrac{3M_{\text{Земли}}}{4\pi R_{\text{Нептун}}^3} \times \dfrac{4}{3}\pi R_{\text{Нептун}}^3 = M_{\text{Земли}}.\]

Таким образом, масса планеты Нептун будет такой же, как и масса Земли.

Далее мы можем воспользоваться формулой полной механической энергии \(E\):

\[E = T + U,\]

где \(T\) - кинетическая энергия.

На границе космического пространства полная механическая энергия будет равна нулю: \(E = 0\). Поэтому формула примет вид:

\[T + U = 0.\]

Запишем выражение для кинетической энергии \(T\):

\[T = \dfrac{1}{2}mv^2,\]

где \(v\) - скорость тела.

Таким образом, мы можем переписать уравнение в виде:

\[\dfrac{1}{2}mv^2 - \dfrac{GMm}{R} = 0.\]

Отсюда получаем:

\[v^2 = \dfrac{2GM}{R}.\]

Теперь заменим \(M\) и \(R\) значениями для Нептуна и Земли:

\[v^2 = \dfrac{2G\cdot M_{\text{Земли}}}{R_{\text{Нептун}}}.\]

Таким образом, ответ на задачу будет:

\[v = \sqrt{\dfrac{2G\cdot M_{\text{Земли}}}{R_{\text{Нептун}}}}.\]