Какая площадь ограничена кривой трапецией с границами: осью ох, линиями х=-1,х=2 и уравнением у=9-х^2​?

Магнит_9342

69

Для нахождения площади ограниченной кривой трапецией, нам нужно найти интеграл от \(y\) по оси \(x\) в пределах от \(x_1\) до \(x_2\), где \(x_1\) и \(x_2\) - это \(x\)-координаты точек пересечения кривой с прямыми \(x=-1\) и \(x=2\).

Первым шагом нам нужно найти точки пересечения кривой \(y=9-x^2\) с прямыми \(x=-1\) и \(x=2\). Чтобы найти эти точки, подставим значения \(x\) в уравнение кривой:

При \(x=-1\): \(y=9-(-1)^2 = 9-1 = 8\)
При \(x=2\): \(y=9-2^2 = 9-4 = 5\)

Таким образом, точки пересечения кривой с прямыми \(x=-1\) и \(x=2\) равны \((-1, 8)\) и \((2, 5)\) соответственно.

Теперь мы можем найти площадь ограниченной кривой, вычислив интеграл от \(y\) по оси \(x\) в пределах от \(-1\) до \(2\). Чтобы найти этот интеграл, мы интегрируем кривую \(y=9-x^2\) по \(x\) в пределах от \(-1\) до \(2\):

\[
\int_{-1}^{2} (9-x^2) \,dx
\]

Вычислим этот интеграл:

\[
\int_{-1}^{2} (9-x^2) \,dx = [9x-\frac{x^3}{3}]_{-1}^{2} = (9(2)-\frac{2^3}{3}) - (9(-1)-\frac{(-1)^3}{3}) = 18-\frac{8}{3} - (-9+\frac{1}{3})
\]

Далее проводим вычисления:

\[
= 18 - \frac{8}{3} + 9 - \frac{1}{3} = \frac{54}{3} - \frac{8}{3} + \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{54 + 27 - 8 - 1}{3} = \frac{72}{3} = 24
\]

Таким образом, площадь ограниченной кривой равна 24.

Ответ: Площадь, ограниченная кривой трапецией, равна 24.