Какая скорость должна быть передана искусственному спутнику Луны, чтобы он мог двигаться вокруг Луны по орбите

Zagadochnyy_Magnat_1843

28

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать законы ньютоновской механики и принцип сохранения энергии.

По закону всемирного тяготения Ньютона, сила тяготения (F) между двумя телами пропорциональна произведению их масс (m1 и m2) и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними (r).

Мы можем использовать этот закон для нахождения силы тяготения, действующей на спутник Луны, по формуле:

\[F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

где G - гравитационная постоянная, которая составляет примерно \(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{c}^2)\).

В данной задаче, спутник Луны является массой \(m_2\), а Луна - массой \(m_1\).

Радиус Луны (\(r\)) составляет \(1.7 \times 10^{6} \, \text{м}\) + 100 км. Однако высота спутника должна быть выражена в метрах, поэтому нам нужно перевести 100 км в метры, учитывая, что 1 км = 1000 метров.

\[r = 1.7 \times 10^{6} \, \text{м} + 100 \, \text{км} \times 1000 \, \text{м/км}\]

Теперь нам известны значение радиуса Луны (\(r = 1.7 \times 10^{6} \, \text{м} + 100 \, \text{км} \times 1000 \, \text{м/км}\)) и масса Луны (\(m_1 = 7.3 \times 10^{22} \, \text{кг}\)).

Теперь мы можем использовать принцип сохранения энергии для нахождения скорости спутника Луны.

Находящийся на орбите, спутник обладает кинетической и потенциальной энергией. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия между спутником и Луной равна разности потенциалов между этими двумя точками в пространстве.

\[\text{Потенциальная энергия} = -\frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r}}\]

Кинетическая энергия спутника на орбите определяется через его массу (\(m_2\)) и скорость (\(v\)):

\[\text{Кинетическая энергия} = \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v^2\]

По принципу сохранения энергии, сумма потенциальной и кинетической энергий остается постоянной:

\[\text{Потенциальная энергия} + \text{Кинетическая энергия} = 0\]

Подставим значения и найдем скорость:

\[-\frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r}} + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v^2 = 0\]

Разрешим уравнение относительно скорости (\(v\)):

\[\frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot v^2 = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r}}\]

\[v^2 = \frac{{2 \cdot G \cdot m_1}}{{r}}\]

\[v = \sqrt{\frac{{2 \cdot G \cdot m_1}}{{r}}}\]

Подставим значения и рассчитаем скорость спутника Луны:

\[v = \sqrt{\frac{{2 \cdot 6.67430 \times 10^{-11} \cdot 7.3 \times 10^{22}}}{{1.7 \times 10^{6} + 100 \, \text{км} \times 1000 \, \text{м/км}}}}\]

После вычислений, мы получим значение скорости необходимое спутнику Луны, чтобы двигаться вокруг Луны по данной орбите.