Какая скорость воздуха должна быть в вертикальной трубе пневматической сушилки, чтобы переместить кристаллы плотностью

Barsik

70

Для решения данной задачи нам понадобятся несколько физических законов и формул.

Первым шагом рассмотрим закон Архимеда, который гласит, что всплывающая сила, действующая на тело, полностью или частично погруженное в жидкость, равна весу вытесненной этим телом жидкости. Формула для расчета всплывающей силы:

\[ F = \rho \cdot V \cdot g \]

где:
\( F \) - всплывающая сила,
\( \rho \) - плотность среды (в данном случае, плотность воздуха),
\( V \) - объем тела,
\( g \) - ускорение свободного падения (приближенное значение: \( g = 9.8 \, \text{м/с}^2 \)).

Теперь, чтобы определить объем кристаллов, воспользуемся формулой для объема шара:

\[ V = \dfrac{4}{3} \pi r^3 \]

где:
\( V \) - объем шара,
\( \pi \) - математическая константа (\( \approx 3.14 \)),
\( r \) - радиус шара.

Так как у нас дан максимальный диаметр кристаллов (3 мм), радиус можно посчитать, разделив диаметр на 2:

\[ r = \dfrac{3 \, \text{мм}}{2} = 1.5 \, \text{мм} = 0.0015 \, \text{м} \]

Теперь, для определения всплывающей силы, нам необходимо знать плотность воздуха. Данное значение зависит от температуры воздуха. Следующим шагом будет определение плотности воздуха при температуре 60 °C.

Для этого воспользуемся уравнением состояния идеального газа:

\[ \rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{p}{R \cdot T} \]

где:
\( \rho \) - плотность воздуха,
\( m \) - масса воздуха,
\( V \) - объем воздуха,
\( p \) - давление газа,
\( R \) - универсальная газовая постоянная (\( R = 8.314 \, \text{Дж/(моль*К)} \)),
\( T \) - температура воздуха.

Воспользуемся уравнением состояния идеального газа для определения плотности воздуха:

\[ \rho = \dfrac{p}{R \cdot T} \]

где:
\( p \) - давление воздуха (мы его не знаем).

Однако, задача говорит, что скорость воздуха должна быть на 25% выше скорости витания частиц. То есть, скорость воздуха должна быть на 1.25 раза больше, чем скорость витания частиц.

Закон Бернулли говорит, что для несжимаемого исключительно вязкого потока между двумя сечениями с площадями \(S_1\) и \(S_2\) и скоростями \(v_1\) и \(v_2\) соответственно, справедливо:

\[ p_1 + \dfrac{\rho v_1^2}{2} + \rho g h_1 = p_2 + \dfrac{\rho v_2^2}{2} + \rho g h_2 \]

где:
\( p_1 \) и \( p_2 \) - давление на разных сечениях,
\( \rho \) - плотность среды (в данном случае, плотность воздуха),
\( v_1 \) и \( v_2 \) - скорости на разных сечениях.

Обозначим скорость витания частиц как \( v \), а требуемую скорость воздуха как \( v" \).

Поскольку задача говорит, что скорость воздуха должна быть на 25% выше скорости витания частиц, получаем:

\( v" = 1.25 \cdot v \)

Теперь мы можем записать уравнение Бернулли для разных сечений (верхнего и нижнего) трубы сушилки:

\[ p_1 + \dfrac{\rho v^2}{2} + \rho g h_1 = p_2 + \dfrac{\rho v"^2}{2} + \rho g h_2 \]

Поскольку высота \( h_1 \) и \( h_2 \) в данной задаче не указаны, считаем, что высота на обоих сечениях одинакова и равна нулю (труба вертикальная).

Таким образом, уравнение Бернулли упрощается до:

\[ p_1 + \dfrac{\rho v^2}{2} = p_2 + \dfrac{\rho v"^2}{2} \]

Учитывая, что мы ищем давление воздуха, реверсируем это уравнение:

\[ p_2 = p_1 + \dfrac{\rho v^2}{2} - \dfrac{\rho v"^2}{2} \]

Теперь мы имеем две неизвестные величины: давление \( p_1 \) и давление \( p_2 \).

Давление воздуха можно выразить через плотность:

\[ p = \rho \cdot R \cdot T \]

Теперь, зная формулу для давления, мы можем выразить давление \( p_1 \) через плотность воздуха \( \rho_1 \) при температуре 60 °C:

\[ p_1 = \rho_1 \cdot R \cdot T_1 \]

Аналогичным образом, давление \( p_2 \) можно выразить через плотность воздуха \( \rho_2 \) при температуре 60 °C:

\[ p_2 = \rho_2 \cdot R \cdot T_1 \]

Используя полученные формулы для \( p_1 \) и \( p_2 \), подставим их в ранее выведенное уравнение для \( p_2 \):

\[ \rho_2 \cdot R \cdot T_1 = \rho_1 \cdot R \cdot T_1 + \dfrac{\rho \cdot v^2}{2} - \dfrac{\rho \cdot v"^2}{2} \]

Теперь, решим это уравнение относительно плотности воздуха \( \rho_2 \):

\[ \rho_2 = \dfrac{\rho_1 \cdot R \cdot T_1 + \dfrac{\rho \cdot v^2}{2} - \dfrac{\rho \cdot v"^2}{2}}{R \cdot T_1} \]

Зная плотность воздуха при комнатной температуре (располагается в таблицах), мы можем вычислить плотность воздуха при заданной температуре 60 °C. Подставим значение плотности в формулу для всплывающей силы:

\[ F = \rho \cdot V \cdot g \]

Теперь, у нас есть все значения, необходимые для расчетов:

\( \rho \) (плотность воздуха при температуре 60 °C),
\( V \) (объем кристаллов),
\( g \) (ускорение свободного падения).

Подставляя эти значения в формулу, мы можем рассчитать всплывающую силу, необходимую для перемещения кристаллов плотностью 2000 кг/м3 с наибольшим диаметром 3 мм.

Надеюсь, данный подробный и обстоятельный ответ поможет вам понять процесс решения задачи и получить правильный результат. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!