Какая жесткость направляющей нити L, чтобы сфера массой 1 кг могла быть установлена в горизонтальную плоскость

Кузнец

17

Для того чтобы сфера массой 1 кг могла быть установлена в горизонтальную плоскость во вращательное движение, необходимо обеспечить равновесие моментов сил, действующих на сферу.

Пусть L - жесткость направляющей нити, $r$ - расстояние от оси вращения до точки закрепления нити на сфере, $g$ - ускорение свободного падения, $m$ - масса сферы.

Известно, что момент силы трения вращения пропорционален радиус-вектору $r$ и жесткости нити $L$, а также силе тяжести, действующей на сферу: $M_{тр}=L\cdot r\cdot m\cdot g$.

Момент инерции сферы вокруг оси вращения можно определить как $I=\frac{2}{5}\cdot m\cdot r^2$. По закону Д нейтона, момент силы трения должен быть равен моменту инерции, поэтому:

$$L\cdot r\cdot m\cdot g=\frac{2}{5}\cdot m\cdot r^2$$

Раскроем скобки и сократим массу сферы $m$:

$$L\cdot g\cdot r=\frac{2}{5}\cdot r^2$$

Делим обе части уравнения на $r$:

$$L\cdot g=\frac{2}{5}\cdot r$$

Из этого уравнения можно выразить жесткость нити:

$$L=\frac{2}{5}\cdot \frac{r}{g}$$

Таким образом, чтобы сфера массой 1 кг могла быть установлена в горизонтальную плоскость во вращательное движение, жесткость направляющей нити должна быть равна $\frac{2}{5}$ отношения расстояния от оси вращения до точки закрепления нити на сфере к ускорению свободного падения.