Какие цены производитель должен установить для студентов и пенсионеров, чтобы максимизировать прибыль, если объем

Ягодка

51

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые дополнительные данные. Давайте предположим, что у нас есть функция спроса на продукцию производителя со стороны студентов, обозначим ее как \(Q_s(p_s)\), где \(p_s\) - цена, которую производитель устанавливает для студентов, а \(Q_s\) - количество продукции, которое студенты готовы приобрести по данной цене.

Аналогично, предположим, что у нас есть функция спроса со стороны пенсионеров, обозначим ее как \(Q_p(p_p)\), где \(p_p\) - цена для пенсионеров, а \(Q_p\) - количество продукции, которое пенсионеры готовы приобрести по данной цене.

Мы также знаем, что объем выпуска продукции составляет 1000 штук в год, то есть
\[Q_s(p_s) + Q_p(p_p) = 1000.\]

Цель производителя - максимизировать прибыль, которая определяется как произведение разности между ценой и средним себестоимостью на количество проданных единиц:
\[Прибыль = (p_s - C) \cdot Q_s(p_s) + (p_p - C) \cdot Q_p(p_p),\]
где \(C\) - среднее себестоимость производства одной единицы продукции.

Для максимизации прибыли необходимо найти такие цены \(p_s\) и \(p_p\), при которых производитель получит максимальную суммарную прибыль.

Подходящей ценовой стратегией может быть дифференцирование цен для студентов и пенсионеров. Для начала, давайте формализуем эту стратегию и установим, что цена для пенсионеров \(p_p\) будет некоторым коэффициентом \(\alpha\) умноженной на цену для студентов \(p_s\):
\[p_p = \alpha \cdot p_s.\]

Теперь мы можем заменить \(p_p\) в уравнении спроса и прибыли:
\[Q_s(p_s) + Q_p(\alpha \cdot p_s) = 1000,\]
\[(p_s - C) \cdot Q_s(p_s) + (\alpha \cdot p_s - C) \cdot Q_p(\alpha \cdot p_s).\]

Находим производную суммарной прибыли по цене для студентов:
\[\frac{{d}}{{dp_s}}\left[(p_s - C) \cdot Q_s(p_s) + (\alpha \cdot p_s - C) \cdot Q_p(\alpha \cdot p_s)\right] = 0.\]

Решая это дифференциальное уравнение, можно найти оптимальную цену для студентов \(p_s\) и, соответственно, цену для пенсионеров \(p_p = \alpha \cdot p_s\).

Здесь я описал основную идею решения задачи, но готов ответить на дополнительные вопросы или предоставить более подробное решение по вашему запросу.