Какие числа образуют арифметическую прогрессию, если сумма первых двух равна 171 и третье число больше первого в 6 раз?

Буран

67

Давайте разберем эту задачу по шагам.

Шаг 1: Составим общую формулу для арифметической прогрессии.
В арифметической прогрессии каждый следующий член получается путем прибавления к предыдущему члену одного и того же числа, которое называется разностью прогрессии. Давайте обозначим первый член прогрессии как \( a \), разность прогрессии как \( d \), а третий член как \( a + 2d \).

Шаг 2: Составим уравнение на основе данных из условия задачи.
Условие говорит нам, что сумма первых двух членов арифметической прогрессии равна 171. То есть, \( a + (a + d) = 171 \).

Шаг 3: Решим уравнение для \( a \) и \( d \).
Раскроем скобки в уравнении и приведем подобные слагаемые:
\( 2a + d = 171 \).

Шаг 4: Учитывая второе условие, составим еще одно уравнение.
Третий член арифметической прогрессии больше первого в 6 раз: \( a + 2d = 6a \).
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\( -5a + 2d = 0 \).

Шаг 5: Решим систему уравнений методом подстановки или сложением/вычитанием.
Умножим второе уравнение на 2 и сложим его с первым уравнением:
\( 2(2a + d) + (-5a + 2d) = 2 \cdot 171 + 0 \),
\( 4a + 2d - 5a + 2d = 342 \),
\( -a + 4d = 342 \).

Шаг 6: Решим полученную систему уравнений.
Мы получили систему уравнений:
\(\begin{cases}
2a + d = 171 \\
-a + 4d = 342
\end{cases}\)

Умножим первое уравнение на 4 и сложим его с вторым уравнением:
\( 4(2a + d) + (-a + 4d) = 4 \cdot 171 + 342 \),
\( 8a + 4d - a + 4d = 684 + 342 \),
\( 7a + 8d = 1026 \).

Шаг 7: Решим получившееся уравнение для \( a \):
\( 7a = 1026 - 8d \),
\( a = \frac{{1026 - 8d}}{7} \).

Шаг 8: Найдем значения \( a \) и \( d \), подставив их обратно в одно из оригинальных уравнений.
У нас есть два уравнения, поэтому можно взять любое из них. Я возьму первое уравнение:
\( 2a + d = 171 \).

Подставим \( a = \frac{{1026 - 8d}}{7} \):
\( 2\left(\frac{{1026 - 8d}}{7}\right) + d = 171 \),
\( \frac{{2052 - 16d + 7d}}{7} = 171 \),
\( \frac{{2052 - 9d}}{7} = 171 \).

Умножим оба выражения на 7:
\( 2052 - 9d = 1197 \).

Выразим \( d \):
\( -9d = 1197 - 2052 \),
\( -9d = -855 \),
\( d = \frac{{-855}}{{-9}} \),
\( d = 95 \).

Теперь найдем значение \( a \):
\( a = \frac{{1026 - 8d}}{7} \),
\( a = \frac{{1026 - 8 \cdot 95}}{7} \),
\( a = \frac{{1026 - 760}}{7} \),
\( a = \frac{{266}}{7} \),
\( a = 38 \).

Шаг 9: Подставим значения \( a \) и \( d \) в уравнение для третьего члена прогрессии, чтобы найти его значение.
\( a + 2d = 38 + 2 \cdot 95 \),
\( a + 2d = 38 + 190 \),
\( a + 2d = 228 \).

Таким образом, числа 38, 133 и 228 образуют арифметическую прогрессию с указанными условиями.