Какие числовые характеристики заданы для случайной величины X, тесно связанной с Y через соотношение Y = 6X

Петр_2718

34

Для решения этой задачи нужно разобраться в понятии случайной величины и её числовых характеристик.

Случайная величина - это величина, которая принимает значения в зависимости от результата случайного эксперимента. В данном случае, X - это случайная величина, а Y - это другая случайная величина, которая зависит от X по соотношению Y = 6X.

Числовые характеристики случайной величины позволяют описать её свойства. Рассмотрим основные числовые характеристики случайной величины X, тесно связанной с Y через соотношение Y = 6X:

1) Математическое ожидание (среднее значение): Математическое ожидание случайной величины X можно найти по формуле \(E(X) = \sum(x \cdot P(x))\), где x - значение случайной величины, а P(x) - вероятность его возникновения. В данном случае, Y = 6X, поэтому математическое ожидание Y будет равно \(E(Y) = E(6X)\). Так как 6 - это константа, то \(E(Y) = 6E(X)\).

2) Дисперсия: Дисперсия случайной величины X показывает, насколько её значения распределены вокруг математического ожидания. Для нахождения дисперсии используется формула \(D(X) = E((X - E(X))^2)\), где E(X) - математическое ожидание случайной величины X. Аналогично, для случайной величины Y, дисперсия будет равна \(D(Y) = D(6X)\). Поскольку 6 - это константа, то \(D(Y) = 6^2 D(X) = 36 D(X)\).

3) Среднеквадратичное отклонение: Среднеквадратичное отклонение случайной величины X выражается как квадратный корень из её дисперсии: \(\sigma(X) = \sqrt{D(X)}\). Аналогично, для случайной величины Y, среднеквадратичное отклонение будет равно \(\sigma(Y) = \sqrt{D(Y)}\), где \(D(Y)\) рассчитывается как 36 раз дисперсия случайной величины X.

4) Ковариация: Ковариация двух случайных величин X и Y показывает, насколько они связаны друг с другом. Для двух случайных величин с соотношением Y = aX (где а - константа), ковариация будет равна \(Cov(X, Y) = a \cdot D(X)\). В данном случае, ковариация между X и Y будет равна \(Cov(X, Y) = 6 \cdot D(X)\).

5) Коэффициент корреляции: Коэффициент корреляции показывает степень линейной связи между двумя случайными величинами. Для случайной величины X, тесно связанной с Y через соотношение Y = 6X, коэффициент корреляции будет равен \(\rho(X, Y) = \frac{{Cov(X, Y)}}{{\sigma(X) \cdot \sigma(Y)}}\). В данном случае, ковариация \(Cov(X, Y) = 6 \cdot D(X)\), а среднеквадратичное отклонение \(\sigma(Y) = 6 \cdot \sigma(X)\), так как Y = 6X. Подставляя значения в формулу, мы получаем \(\rho(X, Y) = \frac{{6 \cdot D(X)}}{{\sigma(X) \cdot 6 \cdot \sigma(X)}} = \frac{{D(X)}}{{\sigma(X)^2}}\).

Таким образом, числовые характеристики случайной величины X, тесно связанной с Y через соотношение Y = 6X, можно описать следующим образом:

- Математическое ожидание Y равно 6 раз математическому ожиданию X: \(E(Y) = 6E(X)\).
- Дисперсия Y равна 36 раз дисперсии X: \(D(Y) = 36D(X)\).
- Среднеквадратичное отклонение Y также равно 6 раз среднеквадратичному отклонению X: \(\sigma(Y) = 6\sigma(X)\).
- Ковариация между X и Y равна 6 раз дисперсии X: \(Cov(X, Y) = 6D(X)\).
- Коэффициент корреляции между X и Y равен отношению дисперсии X к квадрату среднеквадратичного отклонения X: \(\rho(X, Y) = \frac{{D(X)}}{{\sigma(X)^2}}\).

Надеюсь, что объяснение было понятным и информативным. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задавайте!