Какие два натуральных числа задумал Серёжа, если он помнит, что их сумма составляет 22, а разность находится

Sladkiy_Assasin

11

Давайте решим задачу по шагам.

Пусть первое число, задуманное Сережей, будет обозначено как \(x\), а второе число как \(y\).

Условие задачи говорит нам, что сумма чисел составляет 22, поэтому первое уравнение будет выглядеть следующим образом:

\[x + y = 22 \quad (1)\]

Также в условии сказано, что разность этих чисел находится в диапазоне от 10 до 14. Для нахождения разности введем следующее уравнение:

\[|x - y| \leq 14 \quad (2)\]

Рассмотрим различные случаи для выражения \(|x - y|\):

1. Если \(x > y\), то \(|x - y| = x - y\) (так как разность положительна).
2. Если \(x = y\), то \(|x - y| = |x - x| = 0\) (так как разность равна нулю).
3. Если \(x < y\), то \(|x - y| = y - x\) (так как разность положительна).

Теперь мы можем анализировать условия и находить числа \(x\) и \(y\):

1. Пусть \(x > y\). Тогда \(|x - y| = x - y\). Применим это условие к уравнению (2):

\[x - y \leq 14\]

Заменим \(x\) в уравнении (1) на \(22 - y\) и получим:

\[(22 - y) - y \leq 14\]

Раскроем скобки и упростим:

\[22 - 2y \leq 14\]

Вычтем 22 из обеих частей неравенства:

\[-2y \leq -8\]

Разделим обе части на -2, поменяв при этом направление неравенства:

\[y \geq 4\]

Таким образом, для случая \(x > y\), наше уравнение будет иметь вид:

\[\begin{cases} x + y = 22 \\ y \geq 4 \end{cases}\]

Теперь рассмотрим следующий случай.

2. Пусть \(x = y\). В этом случае \(|x - y| = |x - x| = 0\). Применим это условие к уравнению (2):

\[0 \leq 14\]

Так как неравенство выполняется для любого значения \(x\) и \(y\), то в данном случае нет дополнительных условий.

Таким образом, для случая \(x = y\), наше уравнение будет иметь вид:

\[\begin{cases} x + y = 22 \end{cases}\]

И, наконец, рассмотрим последний случай.

3. Пусть \(x < y\). Тогда \(|x - y| = y - x\). Применим это условие к уравнению (2):

\[y - x \leq 14\]

Заменим \(x\) в уравнении (1) на \(22 - y\) и получим:

\[y + (22 - y) \leq 14\]

Упростим выражение:

\[22 \leq 14\]

Это выражение неверно и не имеет решений.

Итак, мы рассмотрели все случаи и пришли к следующим выводам:

1. Для случая \(x > y\): \(x + y = 22\) и \(y \geq 4\).
2. Для случая \(x = y\): \(x + y = 22\) без дополнительных условий.
3. Для случая \(x < y\): нет решений.

Теперь найдем все возможные варианты.

Список всех пар чисел \((x, y)\), удовлетворяющих уравнению \(x + y = 22\) и условиям каждого случая:

1. Для случая \(x > y\):
- \((18, 4)\)
- \((19, 3)\)
- \((20, 2)\)
- \((21, 1)\)

2. Для случая \(x = y\):
- \((11, 11)\)

Поэтому все возможные пары чисел, удовлетворяющие условию задачи, это:

\((18, 4), (19, 3), (20, 2), (21, 1), (11, 11)\)

Таким образом, мы нашли все возможные варианты и доказали, что других вариантов нет.