Какие два положительных множителя нужно использовать, чтобы получить наименьшую сумму их произведения, равную

Yakobin

32

Для решения этой задачи, нам нужно найти два положительных множителя, произведение которых будет минимальным.

Допустим, наши множители обозначены как \(a\) и \(b\). Тогда произведение множителей будет равно \(ab\).

Мы хотим найти такие значения \(a\) и \(b\), чтобы сумма \(a + b\) была минимальной. Чтобы найти наименьшую сумму, мы должны выбрать множители как можно ближе к друг другу.

Вспомним неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

\[2\sqrt{ab} \leq a + b\]

Это неравенство выполняется при условии, что значения \(a\) и \(b\) являются положительными числами.

Теперь давайте применим это неравенство к нашей задаче. Мы хотим, чтобы произведение \(ab\) было постоянным и равнялось заданному числу. Поэтому мы можем записать:

\[2\sqrt{ab} \leq a + b\]

Возведем это неравенство в квадрат:

\[4ab \leq (a + b)^2\]

Раскроем правую часть этого неравенства:

\[4ab \leq a^2 + 2ab + b^2\]

Упростим:

\[0 \leq a^2 - 2ab + b^2\]

Теперь мы можем заметить, что \(a^2 - 2ab + b^2\) является квадратным триномом с положительным коэффициентом при \(a^2\) и \(b^2\), и поэтому он всегда неотрицательный.

Так как неравенство выполняется для всех положительных \(a\) и \(b\), то оно также выполняется для нашей задачи, где мы ищем наименьшую сумму \(a + b\), при заданном произведении \(ab\).

Таким образом, мы можем сделать вывод, что наименьшая сумма \(a + b\) достигается, когда значения \(a\) и \(b\) равны друг другу и равняются \(\sqrt{ab}\).

Таким образом, чтобы получить наименьшую сумму произведения, мы должны использовать два одинаковых положительных множителя, которые будут равны квадратному корню из заданного числа.