Какие формулы используются для сложения рациональных дробей 1/с+3 и 3/с²+3?

Kuznec

35

Чтобы сложить рациональные дроби, мы должны привести их к общему знаменателю. В данном случае, у нас есть две дроби: \( \frac{1}{c+3} \) и \( \frac{3}{c^2+3} \). Оба знаменателя различны, поэтому мы должны найти общий знаменатель для этих дробей.

Чтобы найти общий знаменатель, нам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Знаменатели у нас есть \( c+3 \) и \( c^2+3 \).

Давайте приступим к поиску общего знаменателя. Разложим \( c+3 \) и \( c^2+3 \) на множители и найдем их НОК.

Разложим \( c+3 \):
\( c+3 = c+3 \)

Разложим \( c^2+3 \):
\( c^2+3 = (c+\sqrt{3})(c-\sqrt{3}) \)

Получили, что наименьшим общим кратным знаменателей будет:

НОК(\( c+3 \), \( c^2+3 \)) = \( (c+3)(c+\sqrt{3})(c-\sqrt{3}) \)

Теперь, чтобы сложить рациональные дроби, мы приводим дроби к общему знаменателю. Для этого умножим каждую дробь на недостающий множитель, чтобы получить общий знаменатель.

\( \frac{1}{c+3} \) умножим на \( \frac{c+\sqrt{3}}{c+\sqrt{3}} \):
\( \frac{1}{c+3} \cdot \frac{c+\sqrt{3}}{c+\sqrt{3}} = \frac{1(c+\sqrt{3})}{(c+3)(c+\sqrt{3})} \)

\( \frac{3}{c^2+3} \) умножим на \( \frac{(c+3)(c-\sqrt{3})}{(c+3)(c-\sqrt{3})} \):
\( \frac{3}{c^2+3} \cdot \frac{(c+3)(c-\sqrt{3})}{(c+3)(c-\sqrt{3})} = \frac{3(c+3)(c-\sqrt{3})}{(c+3)(c^2+3)} \)

Теперь у нас есть две рациональные дроби с общим знаменателем. Мы можем сложить их числители, оставив общий знаменатель неизменным:

\( \frac{1(c+\sqrt{3})}{(c+3)(c+\sqrt{3})} + \frac{3(c+3)(c-\sqrt{3})}{(c+3)(c^2+3)} \)

Теперь, когда у нас общий знаменатель, мы можем сложить числители:

\( \frac{c+\sqrt{3}}{(c+3)(c+\sqrt{3})} + \frac{3(c+3)(c-\sqrt{3})}{(c+3)(c^2+3)} = \frac{c+\sqrt{3}+3(c+3)(c-\sqrt{3})}{(c+3)(c+\sqrt{3})} \)

Это и есть ответ. Если нужно, можно продолжить упрощение данной дроби.