Какие координаты и длины векторов могут быть определены для медианы AM, биссектрисы BD и высоты CH треугольника

Фея

28

Для нахождения координат и длин векторов медианы AM, биссектрисы BD и высоты CH треугольника ABC, мы можем использовать соответствующие свойства треугольников и векторов.

1. Медиана AM:
Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Для нахождения координат точки M, которая является серединой стороны BC, мы можем использовать формулу середины отрезка:
\[M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\]
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты концов отрезка BC.
Подставляя координаты точек B(5; 4) и C(13; -2), получаем:
\[M\left(\frac{5 + 13}{2}, \frac{4 + (-2)}{2}\right)\]
\[M(9, 1)\]

Длина вектора можно найти с использованием формулы длины вектора:
\[|AM| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\]
Подставляя координаты точек A(1; 1) и M(9; 1), получаем:
\[|AM| = \sqrt{(9-1)^2 + (1-1)^2}\]
\[|AM| = \sqrt{(8)^2 + (0)^2}\]
\[|AM| = \sqrt{64 + 0}\]
\[|AM| = \sqrt{64}\]
\[|AM| = 8\]

Таким образом, координаты точки M медианы AM треугольника ABC равны (9, 1), а длина вектора AM равна 8.

2. Биссектриса BD:
Биссектриса треугольника - это отрезок, делящий внутренний угол треугольника пополам и пересекающий противоположную сторону. Для нахождения координат точки D, которая является точкой пересечения биссектрисы и стороны AC, мы можем использовать формулу смешанного произведения:
\[D = \frac{a \cdot c + b \cdot c}{a + b}\]
где a и b - это длины отрезков, на которые сторона AC делится биссектрисой (AD и CD соответственно), а c - это точка, в которой сторона BC пересекает сторону AC.
Для того чтобы найти координаты точки B, используем формулу середины отрезка:
\[B\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\]
где (x1, y1) и (x2, y2) - это координаты концов отрезка AC.
Подставляя координаты точек A(1; 1) и C(13; -2), получаем:
\[B\left(\frac{1 + 13}{2}, \frac{1 + (-2)}{2}\right)\]
\[B(7, -0.5)\]

Теперь мы можем подставить значения в формулу смешанного произведения, чтобы найти координаты точки D:
\[D = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{7 \cdot 13 + 1 \cdot 7}{7 + 1}\right)\]
\[D = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{91 + 7}{8}\right)\]
\[D = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{98}{8}\right)\]
\[D = \frac{1}{2} \cdot 12.25\]
\[D = 6.125\]

Таким образом, координаты точки D биссектрисы BD треугольника ABC равны (6.125, 0). Чтобы найти длину вектора BD, мы можем использовать формулу длины вектора, подставив координаты точек B(7, -0.5) и D(6.125, 0):
\[|BD| = \sqrt{(6.125 - 7)^2 + (0 - (-0.5))^2}\]
\[|BD| = \sqrt{(6.125 - 7)^2 + (0.5)^2}\]
\[|BD| = \sqrt{(-0.875)^2 + (0.5)^2}\]
\[|BD| = \sqrt{0.765625 + 0.25}\]
\[|BD| = \sqrt{1.015625}\]
\[|BD| \approx 1.008\]

Таким образом, координаты точки D биссектрисы BD треугольника ABC равны (6.125, 0), а длина вектора BD составляет примерно 1.008.

3. Высота CH:
Высота треугольника - это отрезок, проходящий через вершину треугольника и перпендикулярный противолежащей стороне. Для нахождения координат точки H, которая является точкой пересечения высоты и стороны AB, мы можем использовать формулу высоты, которая определяется по формуле:
\[H = \frac{a \cdot c}{a + b}\]
где a и b - это длины отрезков, на которые сторона AB делится высотой (AH и HB соответственно), а c - это точка, в которой сторона AC пересекает сторону AB.

Чтобы найти координаты точки H, подставим значения в формулу высоты:
\[H = \frac{4 \cdot 1}{4 + 6}\]
\[H = \frac{4}{10} = 0.4\]

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения координат точки H:
\[H\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\]
где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты концов отрезка AB.
Подставляя координаты точек A(1; 1) и B(5; 4), получаем:
\[H\left(\frac{1 + 5}{2}, \frac{1 + 4}{2}\right)\]
\[H(3, 2.5)\]

Таким образом, координаты точки H высоты CH треугольника ABC равны (3, 2.5). Чтобы найти длину вектора CH, мы можем использовать формулу длины вектора, подставив координаты точек C(13, -2) и H(3, 2.5):
\[|CH| = \sqrt{(3 - 13)^2 + (2.5 - (-2))^2}\]
\[|CH| = \sqrt{(-10)^2 + (4.5)^2}\]
\[|CH| = \sqrt{100 + 20.25}\]
\[|CH| = \sqrt{120.25}\]
\[|CH| \approx 10.97\]

Таким образом, координаты точки H высоты CH треугольника ABC равны (3, 2.5), а длина вектора CH составляет примерно 10.97.