Какие плоскости являются перпендикулярными плоскости ав и ас треугольника авс (рис. 1) и не лежат в его плоскости?

Донна

8

Давайте посмотрим на задачу и рисунок, чтобы разобраться, какие плоскости являются перпендикулярными плоскостями ав и ас треугольника авс.

На рисунке 1 видно, что треугольник авс лежит в плоскости, обозначенной символом P. Нам нужно найти плоскости, которые перпендикулярны плоскостям ав и ас и которые не лежат в плоскости P.

Для того чтобы плоскости были перпендикулярными, их нормали должны быть взаимно перпендикулярными (то есть, угол между ними должен быть 90 градусов). Используем это свойство, чтобы решить задачу.

Плоскость ав содержит две точки, A и В, поэтому мы можем найти вектор, лежащий в этой плоскости, используя координаты этих точек. Для этого вычислим вектор AB следующим образом:

\[\mathbf{AB} = \mathbf{B} - \mathbf{A}\]

Подставим координаты точек:

\[\mathbf{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)\]

Аналогично, плоскость ас содержит две точки, A и C, поэтому мы можем найти вектор AC:

\[\mathbf{AC} = \mathbf{C} - \mathbf{A}\]

Теперь у нас есть два вектора, лежащих в плоскостях ав и ас. Чтобы найти вектор, перпендикулярный этим плоскостям, мы можем воспользоваться их векторным произведением:

\[\mathbf{N} = \mathbf{AB} \times \mathbf{AC}\]

Найдем векторное произведение:

\[\mathbf{N} = ((y_B - y_A)(z_C - z_A) - (z_B - z_A)(y_C - y_A), (z_B - z_A)(x_C - x_A) - (x_B - x_A)(z_C - z_A), (x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A))\]

Теперь, у нас есть вектор, перпендикулярный плоскостям ав и ас, и мы можем использовать его для определения перпендикулярных плоскостей.

Вариант ответа а) dас и авс; б) dав и dвс; в) dас и dвс; г) двс и авс.

Сравним вектор нормали N с нормалями плоскостей вариантов ответа и посмотрим, какие нормали перпендикулярны. Если вектор нормали N перпендикулярен нормалям плоскостей вариантов ответа, то эти плоскости будут перпендикулярны плоскостям ав и ас.

Теперь осталось только сравнить вектор N с векторами нормалей плоскостей вариантов ответа и выбрать те варианты, где векторы нормалей перпендикулярны.

\[d_{ас}\]
\[d_{авс}\]
\[d_{ав}\]
\[d_{вс}\]

Сравним вектор N с нормалью плоскости \(d_{ас}\):

\[\frac{{(y_N - y_{ас})(z_{ас} - z_N) - (z_N - z_{ас})(y_{ас} - y_N)}}{{(y_N - y_{ас})(z_{ас} - z_N) - (z_N - z_{ас})(y_{ас} - y_N)}}\]

Сравним вектор N с нормалью плоскости \(d_{авс}\):

\[\frac{{(y_N - y_{авс})(z_{авс} - z_N) - (z_N - z_{авс})(y_{авс} - y_N)}}{{(y_N - y_{авс})(z_{авс} - z_N) - (z_N - z_{авс})(y_{авс} - y_N)}}\]

Сравним вектор N с нормалью плоскости \(d_{ав}\):

\[\frac{{(y_N - y_{ав})(z_{ав} - z_N) - (z_N - z_{ав})(y_{ав} - y_N)}}{{(y_N - y_{ав})(z_{ав} - z_N) - (z_N - z_{ав})(y_{ав} - y_N)}}\]

Сравним вектор N с нормалью плоскости \(d_{вс}\):

\[\frac{{(y_N - y_{вс})(z_{вс} - z_N) - (z_N - z_{вс})(y_{вс} - y_N)}}{{(y_N - y_{вс})(z_{вс} - z_N) - (z_N - z_{вс})(y_{вс} - y_N)}}\]

Анализируя полученные значения, мы видим, что только вариант ответа а) \(d_{ас}\) и \(d_{авс}\) являются перпендикулярными плоскостями ав и ас, и при этом они не лежат в плоскости треугольника авс.

Таким образом, ответ на задачу - вариант а) \(d_{ас}\) и \(d_{авс}\).