Какие скорости имеют два мяча для боулинга массами 6 кг и 4 кг, если они движутся параллельно друг другу?

Kristalnaya_Lisica

7

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать законы сохранения импульса. Согласно закону сохранения импульса, сумма импульсов системы до и после столкновения должна оставаться постоянной.

Пусть \(v_1\) и \(v_2\) - скорости мячей массами 6 кг и 4 кг соответственно до столкновения, а \(v_1"\) и \(v_2"\) - их скорости после столкновения.

Так как мячи движутся параллельно друг другу, мы можем применить закон сохранения импульса вдоль оси движения мячей. Импульс - это произведение массы тела на его скорость.

Имеем:

\[
m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot v_1" + m_2 \cdot v_2"
\]

где \(m_1 = 6 \, \text{кг}\), \(m_2 = 4 \, \text{кг}\).

Так как мячи движутся параллельно друг другу и не взаимодействуют иначе, как только сталкиваются, мы можем предположить, что их столкновение является упругим. В упругом столкновении полная механическая энергия системы сохраняется.

Мы можем использовать закон сохранения энергии, чтобы получить выражение для скоростей после столкновения:

\[
\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1"^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2"^2
\]

Подставим массы и перегруппируем уравнение:

\[
\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot v_1"^2 + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot v_2"^2
\]

\[
3v_1^2 + 2v_2^2 = 3v_1"^2 + 2v_2"^2
\]

Используя закон сохранения импульса, мы также можем получить следующую формулу:

\[
m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1" + m_2 v_2"
\]

Подставим значения масс и перегруппируем уравнение:

\[
6v_1 + 4v_2 = 6v_1" + 4v_2"
\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[
\begin{align*}
3v_1^2 + 2v_2^2 &= 3v_1"^2 + 2v_2"^2 \\
6v_1 + 4v_2 &= 6v_1" + 4v_2"
\end{align*}
\]

Мы можем решить эту систему уравнений для \(v_1"\) и \(v_2"\).

Divulgaremos o passo a passo:

1. Разделить оба уравнения на 2, чтобы упростить их:

\[
\begin{align*}
\frac{3}{2}v_1^2 + v_2^2 &= \frac{3}{2}v_1"^2 + v_2"^2 \\
3v_1 + 2v_2 &= 3v_1" + 2v_2"
\end{align*}
\]

2. Решить второе уравнение относительно \(v_2"\):

\[
v_2" = 3v_1 + 2v_2 - 3v_1"
\]

3. Подставить \(v_2"\) в первое уравнение:

\[
\frac{3}{2}v_1^2 + v_2^2 = \frac{3}{2}v_1"^2 + \left(3v_1 + 2v_2 - 3v_1"\right)^2
\]

4. Разрешить эту квадратную сумму:

\[
\frac{3}{2}v_1^2 + v_2^2 = \frac{3}{2}v_1"^2 + 9v_1^2 + 4v_2^2 + 9v_1"^2 + 12v_1v_2 - 12v_1"v_1 - 6v_1"v_2
\]

5. Упростить уравнение:

\[
13v_1^2 + 3v_2^2 - 6v_1v_2 = \frac{15}{2}v_1"^2 - 6v_1"v_1 + 4v_2^2 - 6v_1"v_2
\]

6. Сгруппировать и выразить \(v_1"^2\):

\[
\left(\frac{13}{2}v_1^2 + 3v_2^2 - 6v_1v_2 + 6v_1"v_1 + 6v_1"v_2\right) = \frac{15}{2}v_1"^2
\]

\[
v_1"^2 = \frac{13}{15}v_1^2 + \frac{2}{5}v_2^2 - \frac{4}{5}v_1v_2 + \frac{4}{5}v_1"v_1 + \frac{4}{5}v_1"v_2
\]

7. Упростить еще раз:

\[
v_1"^2 = \frac{13}{15}v_1^2 + \frac{2}{5}v_2^2 - \frac{4}{5}v_1v_2 + \frac{4}{5}v_1"(v_1 + v_2)
\]

8. Теперь решим уравнение для \(v_1"\):

\[
v_1" = \sqrt{\frac{13}{15}v_1^2 + \frac{2}{5}v_2^2 - \frac{4}{5}v_1v_2 + \frac{4}{5}v_1"(v_1 + v_2)}
\]

Мы видим, что решение несколько сложное и требует много шагов. Чтобы получить численные значения, мы должны использовать значения конкретных скоростей \(v_1\) и \(v_2\). Пожалуйста, уточните эти значения, и я смогу продолжить расчеты.