Какие значения имеют главные центральные моменты инерции сечений, изображенных на схеме? Заданы следующие размеры

Lastik

12

Чтобы ответить на ваш вопрос, необходимо рассмотреть главные центральные моменты инерции различных сечений, изображенных на схеме. Для начала, определимся с общей формулой для вычисления главных моментов инерции:

\[I_{xx} = \int y^2 dA\]
\[I_{yy} = \int x^2 dA\]

где \(I_{xx}\) и \(I_{yy}\) - главные моменты инерции относительно осей \(x\) и \(y\) соответственно, а \(dA\) - элементарная площадка сечения, расстояние от которой до осей равно \(x\) и \(y\) соответственно.

Теперь рассмотрим каждое сечение по отдельности и найдем его значения главных центральных моментов инерции:

1. Прямоугольник:

Для этого сечения заданы размеры \(d_1 = 72\), \(h_1 = 16\), \(b_1 = 32\). Размеры даны в мм.

Чтобы найти главные моменты инерции для прямоугольника, нужно разделить его на элементарные площадки и вычислить интегралы для каждой.

Для удобства, возьмем начало координат в центре прямоугольника. Площадь элементарной площадки равна \(dA = dx \cdot dy\), где \(dx\) и \(dy\) - элементарные смещения относительно начала координат. Для данного сечения размеры прямоугольника по осям равны \(2 \cdot b_1\) и \(2 \cdot h_1\), соответственно, поэтому умножаем размеры на 0.5 для получения удобных границ интегрирования.

Главный момент инерции по оси \(x\) (\(I_{xx}\)) для данного сечения можно найти, интегрируя по оси \(x\), а главный момент инерции по оси \(y\) (\(I_{yy}\)) - интегрируя по оси \(y\). Оси проходят через центр прямоугольника.

\[I_{xx} = \int_{-b_1}^{b_1} \int_{-h_1}^{h_1} y^2 dx dy\]
\[I_{yy} = \int_{-h_1}^{h_1} \int_{-b_1}^{b_1} x^2 dy dx\]

Решив эти интегралы, получим значения главных центральных моментов инерции для прямоугольника.

2. Круг:

Для этого сечения задан радиус \(a = 48\) мм.

Для вычисления главных моментов инерции круга, также разделим его на элементарные площадки. Возьмем начало координат в центре круга. Здесь тоже площадь элементарной площадки равна \(dA = r \cdot d\theta \cdot dr\), где \(r\) - расстояние от элементарной площадки до начала координат, \(d\theta\) - элементарный угол, \(dr\) - элементарное смещение по радиусу.

Главный момент инерции по оси \(x\) (\(I_{xx}\)) для данного сечения можно найти, интегрируя по радиусу \(r\), а главный момент инерции по оси \(y\) (\(I_{yy}\)) - интегрируя по углу \(\theta\). Оси проходят через центр круга.

\[I_{xx} = \int_{0}^{a} \int_{0}^{2\pi} (r \cdot \sin(\theta))^2 r d\theta dr\]
\[I_{yy} = \int_{0}^{a} \int_{0}^{2\pi} (r \cdot \cos(\theta))^2 r d\theta dr\]

Решив эти интегралы, получим значения главных центральных моментов инерции для круга.

Таким образом, после вычислений мы сможем получить конкретные значения главных центральных моментов инерции для сечений, изображенных на схеме.