Какие значения имеют катеты прямоугольного треугольника, если сумма их длин равна 21 м, а длина гипотенузы составляет

Солнечный_Бриз

64

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник, и мы знаем, что сумма длин катетов равна 21 метру, а длина гипотенузы неизвестна. Давайте обозначим длину первого катета как \(x\), а длину второго катета как \(y\).

Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Мы можем записать это уравнение следующим образом:

\[x^2 + y^2 = c^2\]

где \(c\) - длина гипотенузы.

Так как сумма длин катетов равна 21 метру, это означает, что \(x + y = 21\).

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} x + y = 21 \\ x^2 + y^2 = c^2 \end{cases}\]

Мы хотим найти значения катетов \(x\) и \(y\). Давайте решим эту систему шаг за шагом.

1. Возведем оба уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

\[(x + y)^2 = 21^2\]
\[x^2 + 2xy + y^2 = 441\]

2. Теперь заменим выражение \(x^2 + y^2\) во втором уравнении на \(c^2\):

\[2xy + c^2 = 441\]

3. Выразим \(c^2\) из третьего уравнения:

\[c^2 = 441 - 2xy\]

4. Подставим \(c^2\) из третьего уравнения во второе уравнение:

\[x^2 + y^2 = 441 - 2xy\]

5. Так как у нас есть два уравнения, которые равны \(x^2 + y^2\), мы можем приравнять их друг к другу:

\[441 - 2xy = x^2 + y^2\]

6. Теперь мы имеем одно уравнение с одной переменной (\(x\)). Решим его:

\[441 - 2xy = x^2 + y^2\]
\[441 - 2xy = (x + y)^2 - 2xy\]
\[441 = (x + y)^2\]
\[x + y = \sqrt{441}\]
\[x + y = 21\]

Мы уже знаем, что сумма длин катетов равна 21, так как мы это условие записали ранее. Значит, \(x + y = 21\).

Таким образом, ответ на задачу будет следующим: значения катетов прямоугольного треугольника равны 10.5 метру каждый.