Какие значения коэффициента c приведут к тому, что прямая x+y+c=0 будет иметь единственную общую точку с окружностью

Skvoz_Volny

32

Чтобы найти значения коэффициента c, при которых прямая \(x + y + c = 0\) будет касаться окружности \(x^2 + y^2 = 18\), нужно найти точку пересечения этих двух геометрических объектов.

Поскольку прямая должна быть касательной, то она должна иметь единственную общую точку с окружностью. То есть, уравнение прямой и уравнение окружности должны иметь единственное решение.

Для начала, подставим уравнение прямой в уравнение окружности:

\[(x + y + c)^2 + y^2 = 18\]

Раскроем скобки:

\[x^2 + 2xy + 2xc + c^2 + y^2 = 18\]

Объединим коэффициенты при \(x\), \(y\) и свободный член:

\[(1 + 2c)x + (1 + 2y)x + c^2 = 18\]

Чтобы найти общую точку прямой и окружности, нужно приравнять коэффициенты при \(x\) и \(y\) к нулю:

\[1 + 2c = 0\]
\[1 + 2y = 0\]

Решим второе уравнение относительно \(y\):

\[1 + 2y = 0\]
\[2y = -1\]
\[y = -\frac{1}{2}\]

Теперь подставим найденное значение \(y\) в первое уравнение:

\[1 + 2c = 0\]
\[2c = -1\]
\[c = -\frac{1}{2}\]

Таким образом, коэффициент \(c\) равный \(-\frac{1}{2}\) приведет к тому, что прямая \(x + y - \frac{1}{2} = 0\) будет касаться окружности \(x^2 + y^2 = 18\).