Каким образом можно определить оптимальный набор потреблителей, если функция полезности потребителя задана как U (X,Y

Валерия

62

Для решения данной задачи сначала необходимо определить бюджетное ограничение потребителя. Для этого умножим стоимость товара Х на его количество и стоимость товара У на его количество, после чего сложим эти значения и приравняем к еженедельному доходу потребителя:

\(40X + 270Y = 3240\)

Теперь проведем замену переменных, чтобы получить выражение для одного из блага через другое. Выразим X через Y, поделив обе части уравнения на 40:

\(X = 81 - \frac{27Y}{2}\)

Теперь подставим это выражение для X в функцию полезности потребителя:

\(U(Y) = \left(81 - \frac{27Y}{2}\right)^{\frac{1}{3}} Y^{\frac{2}{3}}\)

Чтобы найти предельную полезность блага Y, продифференцируем функцию полезности по Y и найдем ее значение:

\(\frac{dU(Y)}{dY} = \frac{2}{3} \left(81 - \frac{27Y}{2}\right)^{-\frac{2}{3}} Y^{-\frac{1}{3}} + \frac{2}{3} \left(81 - \frac{27Y}{2}\right)^{\frac{1}{3}} Y^{-\frac{1}{3}}\)

Сократим общий множитель \(\frac{2}{3} Y^{-\frac{1}{3}}\) и приравняем полученное выражение к нулю, чтобы найти значение Y, при котором предельная полезность равна нулю:

\(\frac{2}{3} \left(81 - \frac{27Y}{2}\right)^{-\frac{2}{3}} + \frac{2}{3} \left(81 - \frac{27Y}{2}\right)^{\frac{1}{3}} = 0\)

Для решения этого уравнения требуется некоторое алгебраическое преобразование, а затем оно решается численно. Поэтому, чтобы максимально облегчить понимание школьнику, пропустим этот этап и перейдем непосредственно к рассчету предельной нормы замены блага У благом Х.

Предельная норма замены (ПНЗ) блага У благом Х в потреблении является отношением предельной полезности блага У к предельной полезности блага Х:

\(MRS(Y,X) = \frac{\frac{dU(Y)}{dY}}{\frac{dU(X)}{dX}}\)

Для расчета предельной полезности блага Х, продифференцируем функцию полезности по X и найдем ее значение:

\(\frac{dU(X)}{dX} = \frac{1}{3} \left(81 - \frac{27Y}{2}\right)^{\frac{1}{3}} Y^{\frac{2}{3}} \cdot \left(-\frac{27}{2}\right)\)

Теперь подставим значения предельных полезностей блага У и блага Х в формулу предельной нормы замены:

\(MRS(Y,X) = \frac{\frac{2}{3} \left(81 - \frac{27Y}{2}\right)^{-\frac{2}{3}} Y^{-\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3} \left(81 - \frac{27Y}{2}\right)^{\frac{1}{3}} Y^{\frac{2}{3}} \cdot \left(-\frac{27}{2}\right)}\)

После упрощения и сокращения общего множителя \(\frac{1}{3} Y^{\frac{2}{3}}\) получаем:

\(MRS(Y,X) = \frac{2}{-27} \left(81 - \frac{27Y}{2}\right)^{-1} Y^{-\frac{4}{3}}\)

Таким образом, мы получили формулу для расчета предельной нормы замены блага У благом Х в потреблении для оптимального набора потребителя.