Какими значениями коэффициента p система уравнений { 8x + 2y = 6 ; 4x + y = 4p - 21 будет иметь бесконечно много

Муха

54

Чтобы система уравнений имела бесконечное количество решений, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при переменных в одном из уравнений были пропорциональны коэффициентам второго уравнения. То есть, если мы поделим коэффициенты при переменных в одном уравнении на соответствующие им коэффициенты второго уравнения и получим одно и то же число, то система будет иметь бесконечное количество решений.

В данной системе имеем два уравнения:
\[
\begin{align*}
8x + 2y &= 6 \\
4x + y &= 4p - 21
\end{align*}
\]

Для того, чтобы найти значения коэффициента \(p\), чтобы система имела бесконечное количество решений, рассмотрим процесс решения системы пошагово:

1. Умножаем уравнение \(4x + y = 4p - 21\) на 2, чтобы оба уравнения содержали одинаковый коэффициент при \(y\):

\[
\begin{align*}
8x + 2y &= 6 \\
8x + 2y &= 8p - 42
\end{align*}
\]

2. Вычитаем из первого уравнения второе:

\[
\begin{align*}
8x - 8x + 2y - 2y &= 6 - (8p - 42) \\
0 &= 6 - 8p + 42 \\
0 &= 48 - 8p
\end{align*}
\]

3. Решаем полученное уравнение для \(p\):

\[
\begin{align*}
48 - 8p &= 0 \\
-8p &= -48 \\
p &= \frac{-48}{-8} \\
p &= 6
\end{align*}
\]

Таким образом, для коэффициента \(p = 6\) система будет иметь бесконечное количество решений.

Представленный выше метод называется методом сравнения коэффициентов и позволяет определить значения, при которых система имеет бесконечное количество решений.