Какое будет изменение ускорения свободного падения на поверхности планеты, если плотность планеты удвоится, а её радиус

Магический_Кристалл_5845

22

Окей, давайте решим эту задачу!

Ускорение свободного падения (обозначим его \(g\)) на поверхности планеты зависит от массы планеты (\(M\)) и радиуса планеты (\(R\)) по формуле:

\[g = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}}\]

где \(G\) - гравитационная постоянная.

В данной задаче нам дано, что радиус планеты остается неизменным, т.е. \(R\) не меняется. Мы хотим найти изменение ускорения свободного падения, поэтому нам нужно выразить ускорение в исходных и новых условиях и посмотреть на изменение.

Для начала, давайте выразим исходное ускорение свободного падения \(g_1\) через массу \(M_1\) и радиус \(R\):

\[g_1 = \frac{{G \cdot M_1}}{{R^2}}\]

Затем, выразим новое ускорение свободного падения \(g_2\) через массу \(M_2\) и тот же радиус \(R\):

\[g_2 = \frac{{G \cdot M_2}}{{R^2}}\]

Мы знаем, что плотность (\(\rho\)) определена как отношение массы к объему:

\[\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}\]

Если плотность планеты удваивается и радиус не меняется, то мы можем записать:

\[\rho_2 = 2 \cdot \rho_1\]

\[\frac{M_2}{\frac{4}{3}\pi R^3} = 2 \cdot \frac{M_1}{\frac{4}{3}\pi R^3}\]

Сокращаем на \(\frac{4}{3}\pi R^3\):

\[M_2 = 2 \cdot M_1\]

Теперь мы можем подставить этот результат в выражение для \(g_2\):

\[g_2 = \frac{{G \cdot M_2}}{{R^2}} = \frac{{G \cdot (2 \cdot M_1)}}{{R^2}} = 2 \cdot \frac{{G \cdot M_1}}{{R^2}} = 2 \cdot g_1\]

Таким образом, изменение ускорения свободного падения на поверхности планеты будет в два раза большим.

Я надеюсь, что это объяснение было понятным для вас. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!