Какое из следующих логических выражений эквивалентно выражению (А → С) & (B → С)? 1) А & В → С; 2) А → В → С; 3) A

Pechka

22

Чтобы найти эквивалентное выражение для (А → С) & (B → С), давайте рассмотрим каждое из предложенных выражений по очереди и проверим их эквивалентность.

1) Выражение А & В → С: Для начала, давайте преобразуем это выражение в эквивалентное выражение, используя законы логики.

А & В → С эквивалентно ¬(А & В) v С (эквивалентность импликации).

Теперь мы можем записать это выражение в виде логической формулы, используя законы де Моргана.

¬(А & В) v С эквивалентно (¬А v ¬В) v С (закон де Моргана).

Очевидно, что это выражение не эквивалентно (А → С) & (B → С), так как оно содержит дополнительное отрицание ¬А.

2) Выражение А → В → С: Для того чтобы выразить двойную импликацию А ↔ Б → С, мы можем использовать следующее эквивалентное выражение:

А → В → С эквивалентно (А → (В → С)).

Это выражение является частным случаем правила логики, известного как "правило импликации", и оно эквивалентно изначальному выражению (А → С) & (B → С).

3) Выражение A v Б → С: Для того чтобы выразить это выражение в эквивалентной форме, воспользуемся законом импликации:

A v Б → С эквивалентно ¬(A v Б) v С.

Так как это выражение содержит дизъюнкцию A v Б, оно не эквивалентно изначальному выражению (А → С) & (B → С).

4) Выражение А ↔ Б → С: Это выражение является сложным, поэтому разложим его по шагам.

А ↔ Б → С эквивалентно (А ↔ Б) → С.

Здесь требуется быть осторожными. (А ↔ Б), также известное как "эквивалентность", означает, что выражения А и Б равны друг другу. Возвращаясь к исходному выражению, мы получаем следующее:

(А ↔ Б) → С эквивалентно (¬(А ↔ Б)) v С.

Теперь нам нужно разложить (А ↔ Б) с использованием закона эквивалентности.

(¬(А ↔ Б)) v С эквивалентно ((¬(А ∧ Б)) ∧ (¬(¬А ∧ ¬Б))) v С.

Раскрывая отрицания, мы приходим к следующему:

((¬(А ∧ Б)) ∧ (¬(¬А ∧ ¬Б))) v С эквивалентно ((¬А ∨ ¬Б) ∧ (А ∨ Б)) v С.

Кажется, что это может быть эквивалентно изначальному выражению (А → С) & (B → С), но первое выражение содержит дополнительное выражение (¬А ∨ ¬Б), которого нет в исходном выражении.

Таким образом, эквивалентным выражением для (А → С) & (B → С) является выражение А → В → С (второе предложенное выражение).

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!