Какое изменение энтропии произойдет при нагревании 11.2 литров азота от 0 до 50  градусов Цельсия при одновременном

Osa_7715

59

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой для изменения энтропии:

\(\Delta S = nC_p \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - nR \ln\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\),

где:
\(\Delta S\) - изменение энтропии (в джоулях на кельвин),
\(n\) - количество вещества (в молях),
\(C_p\) - молярная теплоёмкость при постоянном давлении (в джоулях на моль и на кельвин),
\(T_1\) и \(T_2\) - начальная и конечная температуры (в кельвинах),
\(P_1\) и \(P_2\) - начальное и конечное давления (в паскалях),
\(R\) - универсальная газовая постоянная (8.314 Дж/(моль·К)).

Для азота \(C_p\) можно принять примерно равным 29.1 Дж/(моль·К).

Дано:
Объём \(V = 11.2\) литров,
Температура начальная \(T_1 = 0\) градусов Цельсия,
Температура конечная \(T_2 = 50\) градусов Цельсия,
Давление начальное \(P_1 = 1\) атм,
Давление конечное \(P_2 = 0.01\) атм.

Для начала, нам нужно выразить указанные единицы измерения в единицах, подходящих для нашей формулы. Переведём литры в молях, используя уравнение состояния идеального газа:

\(\frac{PV}{nRT} = 1\).

Молярный объём \(V_m = \frac{V}{n}\), где \(V\) - объём газа, \(n\) - количество вещества.

Теперь найдём количество вещества:

\(n = \frac{V}{V_m}\).

Давление переведём из атмосфер в паскали:

\(P_1 = 1 \cdot 101325\) Па,
\(P_2 = 0.01 \cdot 101325\) Па.

Теперь мы можем вычислить изменение энтропии. Подставим все значения в формулу:

\(\Delta S = nC_p \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - nR \ln\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\).

Подставим значения:

\(\Delta S = \frac{V}{V_m} \cdot C_p \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - \frac{V}{V_m} \cdot R \ln\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\).

Подставим числовые значения и решим уравнение:

\(\Delta S = \frac{11.2}{22.4} \cdot 29.1 \cdot \ln\left(\frac{50+273}{0+273}\right) - \frac{11.2}{22.4} \cdot 8.314 \cdot \ln\left(\frac{0.01 \cdot 101325}{1 \cdot 101325}\right)\).

Распишем логарифмы:

\(\Delta S = \frac{11.2}{22.4} \cdot 29.1 \cdot \ln\left(\frac{323}{273}\right) - \frac{11.2}{22.4} \cdot 8.314 \cdot \ln\left(\frac{1013.25}{1013.25}\right)\).

Выполним расчеты:

\(\Delta S = 0.5 \cdot 29.1 \cdot \ln\left(\frac{323}{273}\right) - 0.5 \cdot 8.314 \cdot \ln(1)\).

Сократим выражение \(\ln(1)\):

\(\Delta S = 0.5 \cdot 29.1 \cdot \ln\left(\frac{323}{273}\right) - 0.5 \cdot 8.314 \cdot 0\).

Так как последнее слагаемое равно нулю, мы можем его опустить:

\(\Delta S = 0.5 \cdot 29.1 \cdot \ln\left(\frac{323}{273}\right)\).

Рассчитаем значение, округлив его до нужного количества знаков после запятой.

\(\Delta S \approx 0.5 \cdot 29.1 \cdot 0.1838 \approx 2.6687\) (дж/к).

Таким образом, изменение энтропии при нагревании 11.2 литров азота от 0 до 50 градусов Цельсия при одновременном снижении давления с 1 атм до 0.01 атм составляет примерно 2.6687 Дж/К.