Какое количество возрастающих арифметических прогрессий можно составить из 24 различных натуральных чисел

Белка

51

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся с определением арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается путем прибавления постоянного числа, называемого разностью, к предыдущему члену.

Пусть первый член арифметической прогрессии равен \(a_1\), а разность равна \(d\). Тогда в общем виде n-й член арифметической прогрессии выражается формулой:

\[ a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d \]

Для решения задачи нам нужно определить, сколько различных возрастающих арифметических прогрессий можно составить из 24 натуральных чисел, не превышающих 1000.

Рассмотрим количество возможных прогрессий для разных разностей \(d\). В данной задаче мы ограничены числами, не превышающими 1000, поэтому давайте рассмотрим случаи, когда разность \(d\) равна 1, 2, 3, и так далее до 1000.

Когда разность равна 1, все числа в прогрессии будут последовательными. Из условия следует, что все числа должны быть различными, поэтому возможно только одно такое прогрессия: 1, 2, 3, ..., 24.

Когда разность равна 2, начальное число \(a_1\) может быть любым из 24 натуральных чисел. Далее, каждое следующее число будет на 2 больше предыдущего. То есть, для каждого из 24 начальных чисел будет существовать прогрессия с разностью 2: 1, 3, 5, ..., 47; 2, 4, 6, ..., 48; и так далее.

Аналогично, для разностей 3, 4, 5 и так далее до 1000, для каждого из 24 начальных чисел можно составить соответствующую арифметическую прогрессию.

Таким образом, общее количество возрастающих арифметических прогрессий, которые можно составить из 24 различных натуральных чисел, не превышающих 1000, будет равно сумме количества прогрессий для каждой разности:

\(1 + 24 + 23 + 22 + ... + 1 = \frac{24 \cdot 25}{2} = 300\)

Таким образом, можно составить 300 возрастающих арифметических прогрессий из данных чисел.