Какое максимальное количество команд может набрать ровно 10 очков в турнире по футболу, где участвуют 17 команд, каждая

Kuzya

27

Для решения данной задачи нам необходимо найти комбинацию числа игр, которая даст в результате 10 очков для каждой из 17 команд.

Поступим следующим образом:
1. Рассмотрим первую команду. Она играет против всех остальных 16 команд. Если команда выигрывает матч, то она получает 3 очка, а проигравшая команда не получает ни одного очка. Таким образом, чтобы команда набрала ровно 10 очков, она должна выиграть несколько матчей и проиграть некоторое количество матчей.
2. Очевидно, что команда должна выиграть хотя бы 4 матча (так как 4 × 3 = 12, что больше, чем нужные нам 10 очков).
3. Предположим, что команда выигрывает ровно 4 матча. Тогда она проигрывает оставшиеся 12 матчей. В таком случае она получит 4 × 3 = 12 очков.
4. Однако, нам нужно набрать только 10 очков. Значит, количество выигранных матчей команды должно быть строго меньше 4.

Чтобы определить максимальное количество команд, набравших 10 очков, рассмотрим все возможные варианты. Пусть \( x \) - количество выигранных матчей каждой команды. Затем, с учетом особенностей задачи, составим уравнение и решим его.

Представим, что всего сыграно \( n \) матчей. Тогда каждая команда сыграла \( n - 1 \) игру (потому что она не может играть с самой собой). Всего было сыграно \( \binom{17}{2} \) матчей.
Таким образом, \( n(n-1) = \binom{17}{2} \). Решим это уравнение:

\[
n(n-1) = \binom{17}{2} = \frac{17!}{2!(17-2)!} = \frac{17!}{2!15!} = \frac{17 \cdot 16}{2 \cdot 1} = 136
\]

Теперь найдем возможное количество выигранных матчей \( x \) (заметим, что каждая команда набирает 3 очка за выигранный матч и 0 за проигранный):

\[
x(n-1) = 10 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{10}{n-1}
\]

Подставим значение \( n \) и найдем соответствующее значение \( x \):

\[
x = \frac{10}{\sqrt{136} - 1} \approx 1.723
\]

Теперь подумаем о распределении команд с \( x = 1.723 \) выигранных матчей:
- Мы не можем иметь дробное количество побед, поэтому округлим \( x \) до целого числа. Очевидно, что команда может выиграть либо 1, либо 2 матча.
- Если каждая команда выиграет 1 матч, то всего будет выиграно \( 1 \cdot 17 = 17 \) матчей, что меньше 136.
- Если каждая команда выиграет 2 матча, то всего будет выиграно \( 2 \cdot 17 = 34 \) матча, что также меньше 136.
- Попробуем определить приближенное целое значение команд, которые выиграли 2 матча, двигаясь вниз по целым числам: 16 команд выиграли 2 матча, и одна команда выиграла 1.

Таким образом, максимальное количество команд, которые могут набрать 10 очков, равно 16 команд, которые выиграли 2 матча, и 1 команде, которая выиграла 1 матч.