Какое максимальное количество команд может набрать ровно 10 очков в турнире по футболу, где участвуют 17 команд, каждая

Kuzya

27

Для решения данной задачи нам необходимо найти комбинацию числа игр, которая даст в результате 10 очков для каждой из 17 команд.

Поступим следующим образом:
1. Рассмотрим первую команду. Она играет против всех остальных 16 команд. Если команда выигрывает матч, то она получает 3 очка, а проигравшая команда не получает ни одного очка. Таким образом, чтобы команда набрала ровно 10 очков, она должна выиграть несколько матчей и проиграть некоторое количество матчей.
2. Очевидно, что команда должна выиграть хотя бы 4 матча (так как 4 × 3 = 12, что больше, чем нужные нам 10 очков).
3. Предположим, что команда выигрывает ровно 4 матча. Тогда она проигрывает оставшиеся 12 матчей. В таком случае она получит 4 × 3 = 12 очков.
4. Однако, нам нужно набрать только 10 очков. Значит, количество выигранных матчей команды должно быть строго меньше 4.

Чтобы определить максимальное количество команд, набравших 10 очков, рассмотрим все возможные варианты. Пусть $x$ - количество выигранных матчей каждой команды. Затем, с учетом особенностей задачи, составим уравнение и решим его.

Представим, что всего сыграно $n$ матчей. Тогда каждая команда сыграла $n-1$ игру (потому что она не может играть с самой собой). Всего было сыграно $(\genfrac{}{}{0ex}{}{17}{2})$ матчей.
Таким образом, $n(n-1)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{17}{2})$. Решим это уравнение:

$$n(n-1)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{17}{2})=\frac{17!}{2!(17-2)!}=\frac{17!}{2!15!}=\frac{17\cdot 16}{2\cdot 1}=136$$

Теперь найдем возможное количество выигранных матчей $x$ (заметим, что каждая команда набирает 3 очка за выигранный матч и 0 за проигранный):

$$x(n-1)=10\Rightarrow x=\frac{10}{n-1}$$

Подставим значение $n$ и найдем соответствующее значение $x$:

$$x=\frac{10}{\sqrt{136}-1}\approx 1.723$$

Теперь подумаем о распределении команд с $x=1.723$ выигранных матчей:
- Мы не можем иметь дробное количество побед, поэтому округлим $x$ до целого числа. Очевидно, что команда может выиграть либо 1, либо 2 матча.
- Если каждая команда выиграет 1 матч, то всего будет выиграно $1\cdot 17=17$ матчей, что меньше 136.
- Если каждая команда выиграет 2 матча, то всего будет выиграно $2\cdot 17=34$ матча, что также меньше 136.
- Попробуем определить приближенное целое значение команд, которые выиграли 2 матча, двигаясь вниз по целым числам: 16 команд выиграли 2 матча, и одна команда выиграла 1.

Таким образом, максимальное количество команд, которые могут набрать 10 очков, равно 16 команд, которые выиграли 2 матча, и 1 команде, которая выиграла 1 матч.