Какое минимальное количество шариков необходимо, чтобы покрасить всю доску, если запрещено кидать шарики в угловые

Schelkunchik

9

Чтобы решить эту задачу, нужно рассмотреть несколько случаев и определить минимальное количество шариков, необходимых для покраски всей доски.

Предположим, что у нас есть доска \(n \times m\), где \(n\) - количество строк, а \(m\) - количество столбцов.

1. Рассмотрим случай, когда \(n\) и \(m\) четные числа.
Для начала заметим, что в каждом углу доски находится по одной угловой клетке. Если мы бросим шарик в любую из этих клеток, то все остальные угловые клетки также будут окрашены. Таким образом, нам потребуется 4 шарика, чтобы окрасить все угловые клетки доски. Однако, после окрашивания угловых клеток останутся только внутренние клетки доски, а их количество будет \((n-2)\times(m-2)\).
Теперь мы можем применить такую же логику к оставшимся внутренним клеткам и использовать 4 шарика для их окраски. Таким образом, общее количество шариков, необходимых для покраски всей доски в этом случае, будет равно \((n-2)\times(m-2) + 4\).

2. Посмотрим на случай, когда \(n\) и \(m\) нечетные числа.
В этом случае имеется хотя бы одна угловая клетка, которую мы не можем покрасить. Если мы бросим шарик в одну из оставшихся угловых клеток, то все остальные угловые клетки будут автоматически покрашены. Таким образом, нам потребуется 4 шарика для окрашивания угловых клеток доски. После этого у нас останется оставшаяся угловая клетка и \((n-1)\times(m-1)\) внутренних клеток.
Мы можем решить этот случай, применив логику из предыдущего случая для внутренних клеток. Таким образом, общее количество шариков, необходимых для покраски всей доски в этом случае, будет равно \((n-1)\times(m-1) + 4\).

Таким образом, мы рассмотрели два варианта случаев и определили минимальное количество шариков, необходимых для покраски всей доски.