Какое наибольшее возможное основание системы счисления обеспечит, чтобы число 281 имело 3 цифры и завершалось

Солнечный_Пирог

10

Для решения данной задачи о системе счисления, нам необходимо определить наибольшее возможное основание системы, чтобы число 281 имело 3 цифры и завершалось.

Первый шаг - определение количества цифр числа 281 в различных системах счисления. В общем случае, чтобы определить количество цифр числа в системе с основанием n, можно взять его логарифм по основанию n и прибавить 1. Формулой это можно записать следующим образом:

\[k = \lfloor\log_n(281)\rfloor + 1\]

Где k - количество цифр числа, \(\log_n\) - логарифм числа 281 по основанию n, а \(\lfloor x\rfloor\) - наибольшее целое число, не превосходящее x.

Для определения наибольшего возможного основания системы, при котором число 281 имеет 3 цифры и завершается, нужно решить следующую систему неравенств:

\[\begin{cases}
k = 3 \\
281 < n^k
\end{cases}\]

Первое неравенство означает, что число 281 должно иметь ровно 3 цифры в данной системе счисления. Второе неравенство отражает условие, что число 281 должно быть меньше наибольшего числа, которое может быть записано в данной системе счисления с 3 цифрами.

Давайте решим систему неравенств. Для начала, упростим второе неравенство:

\[281 < n^3\]

Применим логарифм по основанию n к обеим частям неравенства:

\[\log_n(281) < 3\]

Теперь можно заметить, что возможное наибольшее основание системы счисления будет таким, что логарифм от 281 по этому основанию будет меньше 3. Подходящим образом выберем основание системы счисления, чтобы выполнялось неравенство:

\[\log_n(281) < 3\]

Определение точного основания системы счисления требует вычисления логарифма числа 281 по различным основаниям и сравнения результатов, однако мы можем привести некоторые примеры:

Если взять основание системы счисления равным 2, то \(\log_2(281) \approx 8.15\), что больше 3.
Если взять основание системы счисления равным 10, то \(\log_{10}(281) \approx 2.449\), что также больше 3.

Из этого следует, что наибольшее возможное основание системы счисления, при котором число 281 имеет 3 цифры и завершается, равно 1.

Наибольшая система счисления с такими условиями не имеет практического применения, так как единственная цифра, доступная в системе с основанием 1, это "0". Однако, для решения данной задачи математически было показано, что это наибольшее возможное основание.