Какое расстояние от центра окружности диаметром, равным двум корню из 23, до ее хорды?

Solnyshko

34

Для решения этой задачи нам понадобится использовать геометрические свойства окружностей и ее касающихся объектов.

Предположим, что у нас есть окружность с центром \( O \) и диаметром \( AB \), где длина диаметра равна \( 2\sqrt{23} \). Пусть хорда окружности \( CD \) пересекает диаметр \( AB \) в точке \( E \) (см. рисунок).

\[кривая\]

Нашей задачей является определение расстояния от центра окружности до ее хорды \( CD \).

Шаг 1: Определение середины хорды \( CD \)
Согласно теореме о свойствах хорд в окружности, середина хорды \( CD \) будет совпадать с серединой диаметра \( AB \). Обозначим середину хорды как точку \( M \).

Шаг 2: Определение расстояния от центра до середины хорды
Расстояние от центра окружности до середины хорды равно половине длины диаметра. В нашем случае, длина диаметра равна \( 2\sqrt{23} \), поэтому расстояние от центра до середины хорды будет равно \( \sqrt{23} \).

Шаг 3: Определение расстояния от середины хорды до хорды
Так как хорда \( CD \) перпендикулярна диаметру \( AB \), расстояние от середины хорды \( M \) до хорды \( CD \) будет равно половине длины хорды \( CD \).

Шаг 4: Определение длины хорды
Длина хорды \( CD \) может быть определена с использованием теоремы Пифагора на прямоугольном треугольнике \( CEM \) (см. рисунок). При этом гипотенуза треугольника будет являться диаметром \( AB \), а один из катетов будет равен расстоянию от середины хорды \( M \) до хорды \( CD \).

Квадрат гипотенузы треугольника равен сумме квадратов его катетов:

\[
AB^2 = CM^2 + EM^2
\]

Подставим известные значения:

\[
(2\sqrt{23})^2 = (CM)^2 + \left(\frac{CD}{2}\right)^2
\]

\[
4 \cdot 23 = CM^2 + \left(\frac{CD}{2}\right)^2
\]

\[
92 = CM^2 + \frac{CD^2}{4}
\]

Шаг 5: Определение длины хорды
Так как расстояние от середины хорды \( M \) до хорды \( CD \) равно половине длины хорды \( CD \), то \( CM = \frac{CD}{2} \). Подставим это значение в уравнение:

\[
92 = \left(\frac{CD}{2}\right)^2 + \frac{CD^2}{4}
\]

\[
92 = \frac{CD^2}{4} + \frac{CD^2}{4}
\]

\[
92 = \frac{2CD^2}{4}
\]

\[
184 = 2CD^2
\]

\[
CD^2 = \frac{184}{2}
\]

\[
CD^2 = 92
\]

\[
CD = \sqrt{92}
\]

\[
CD = 2\sqrt{23}
\]

Таким образом, длина хорды \( CD \) равна \( 2\sqrt{23} \).

Шаг 6: Определение расстояния от середины хорды до хорды
Расстояние от середины хорды \( M \) до хорды \( CD \) будет половиной длины хорды. В нашем случае, это будет \( \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{23} = \sqrt{23} \).

Таким образом, расстояние от центра окружности до хорды \( CD \) равно \( \sqrt{23} \).