Какое расстояние от наблюдателя требуется, чтобы удалить десятирублевую монету диаметром, если угловой диаметр Сириуса

Yarmarka

69

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать понятие углового диаметра и применить его к десятирублевой монете и Сириусу.

Угловой диаметр - это угловая мера, которая соответствует длине диаметра, видимой с определенного расстояния.

Первым шагом мы должны найти угол, представленный угловым диаметром Сириуса. У нас дано, что угловой диаметр Сириуса составляет 0,0060". Измерение углов обычно производится в градусах, поэтому нам нужно перевести этот угол в градусы.

Цель состоит в том, чтобы найти расстояние, поэтому нужно использовать треугольник. Пусть расстояние от наблюдателя до Сириуса будет обозначено как "d", а радиус десятирублевой монеты - "r".

Ставшей уже классической ошибкой в решении задачи часто является то, что многие ученики не делают различий между градусами и радианами, или между долей окружности и угловой мерой в радианах или градусах. Угловую меру в радианах в обычной геометрии можно считать частью единичной окружности, а угловую меру в градусах — представлением доли окружности. В этой задаче, чтобы использовать угловой диаметр Сириуса, выраженный в долях окружности (0,0060), нам потребуется преобразовать эти доли в радианы, используя соотношение, которое связывает доли окружности и углы в радианах (2π радианов соответствует 360 градусам, следовательно, один радиан равен 360/(2π) = 180/π градусов или около 57,3 градусов). Тогда угловой диаметр Сириуса в радианах будет составлять:

\[
\text{угловой диаметр в радианах} = 0,0060 \times \frac{{180}}{{\pi}}
\]

Следующим шагом будет вычисление диаметра десятирублевой монеты в радианах. Мы знаем, что диаметр монеты составляет 10 рублей, и чтобы найти ее радиус, нам нужно разделить диаметр на 2. Тогда радиус монеты будет:

\[
r = \frac{{10}}{{2}} = 5
\]

Теперь мы можем построить треугольник, где один угол будет угловым диаметром Сириуса, другой угол - угловым диаметром монеты, а третий угол - требуемым углом.

\[
\begin{align*}
&\delta = 0.0060 \times \frac{{180}}{{\pi}}\\
&\beta = \frac{{d}}{{r}}\\
&0.0060 \times \frac{{180}}{{\pi}} + \frac{{d}}{{5}} + \text(требуемый угол) = 180
\end{align*}
\]

Для того чтобы найти требуемое расстояние от наблюдателя, нам нужно решить последнее уравнение относительно "d". Давайте решим его:

\[
\begin{align*}
0.0060 \times \frac{{180}}{{\pi}} + \frac{{d}}{{5}} & = 180\\
d/5 & = 180 - 0.0060 \times \frac{{180}}{{\pi}}\\
d & = (180 - 0.0060 \times \frac{{180}}{{\pi}}) \times 5
\end{align*}
\]

Подставим значения, чтобы решить эту формулу:

\[
\begin{align*}
d & = (180 - 0.0060 \times \frac{{180}}{{\pi}}) \times 5\\
& = (180 - \frac{{180 \times 0.0060}}{{\pi}}) \times 5\\
& = 180 \times 5 - \frac{{180 \times 0.0060 \times 5}}{{\pi}}
\end{align*}
\]

Расчитаем точное значение для этой формулы и получим окончательный ответ.