Какое расстояние от наблюдателя требуется для размещения шарика для пинг-понга (диаметр 40 мм), чтобы его угловой

Путешественник_Во_Времени_1797

17

Для решения данной задачи нам понадобится использовать геометрические соображения и определение углового диаметра.

Угловой диаметр - это угол, закрываемый объектом на расстоянии 1 метра от наблюдателя. В данной задаче нам нужно найти расстояние от наблюдателя до шарика для пинг-понга, чтобы угловой диаметр шарика равнялся 0,02".

Чтобы найти это расстояние, нам необходимо использовать формулу для вычисления углового диаметра:
\[ u = 2 \cdot \arctan \left(\frac{d}{2 \cdot D}\right) \],

где \( u \) - угловой диаметр в радианах,
\( d \) - диаметр объекта (в нашем случае - диаметр шарика для пинг-понга),
\( D \) - расстояние от наблюдателя до объекта.

Переведем угловой диаметр из десятичных долей градусов в радианы:
\[ u = 0,02" \cdot \frac{\pi}{180 \cdot 3600} \],

подставим значение диаметра шарика в мм:
\[ u = 0,02" \cdot \frac{\pi}{180 \cdot 3600} \cdot \frac{1 \, \text{мм}}{25,4} = 5,567 \times 10^{-7} \, \text{рад} \].

Теперь, подставляя все значения в исходную формулу, получаем:
\[ 5,567 \times 10^{-7} = 2 \cdot \arctan \left(\frac{40}{2 \cdot D}\right) \].

Выразим расстояние \( D \):
\[ D = \frac{40}{2 \cdot \tan\left(\frac{5,567 \times 10^{-7}}{2}\right)} \],

где \( \tan \) - тангенс.

Используя калькулятор, решим данное уравнение:
\[ D = \frac{40}{2 \cdot \tan(2,7835 \times 10^{-7})} \approx 2,873 \times 10^7 \, \text{м} \].

Таким образом, для размещения шарика для пинг-понга (диаметр 40 мм) так, чтобы его угловой диаметр равнялся 0,02", требуется расстояние примерно 28,73 километра от наблюдателя.