Какое расстояние от предмета до экрана, где получается четкое изображение предмета, является 4 метрами? Изображение

Serdce_Skvoz_Vremya

1

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать оптическую формулу для определения фокусного расстояния линзы. Формула имеет вид:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \]

где \(f\) - фокусное расстояние линзы, \(p\) - расстояние от предмета до линзы, а \(q\) - расстояние от изображения до линзы.

У нас дано, что изображение предмета является в 3 раза больше самого предмета. То есть, если обозначить высоту предмета как \(h\), то высота изображения будет равна \(3h\).

Также указано, что расстояние между предметом и экраном равно 4 метрам. Обозначим это расстояние как \(d\) и обозначим расстояние от линзы до экрана как \(q\).

Используя данную информацию, можно составить следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \\
\frac{h}{3h} = \frac{p}{q} \\
p + q = d
\end{cases}
\]

Заметим, что второе уравнение выражает соотношение между высотой предмета и высотой изображения.

Из второго уравнения получаем, что \(\frac{p}{q} = \frac{1}{3}\). Подставим это соотношение в первое уравнение:

\[
\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{\frac{p}{3}} = \frac{4}{p}
\]

Теперь мы имеем одно уравнение с одной неизвестной (\(\frac{1}{f}\)). Решим это уравнение:

\[
\frac{1}{f} = \frac{4}{p} \implies f = \frac{p}{4}
\]

Так как предмет и изображение находятся по одну сторону линзы, примем \(p\) и \(q\) как положительные значения. Тогда у нас имеется уравнение \(p + q = d\), где \(d = 4\).

Заменим \(q\) на \(d - p\) и решим уравнение:

\[
p + (d - p) = d \implies 2p = d \implies p = \frac{d}{2}
\]

Теперь мы можем найти \(f\):

\[
f = \frac{p}{4} = \frac{d}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{d}{8}
\]

Таким образом, фокусное расстояние линзы \(f\) равно \(\frac{d}{8}\). Подставим значение \(d = 4\):

\[
f = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
\]

Поэтому, расстояние \(p\) от предмета до линзы также равно \(\frac{d}{2}\:

\[
p = \frac{4}{2} = 2
\]

Итак, расстояние от предмета до линзы \(p\) равно 2 метрам, а фокусное расстояние линзы \(f\) равно \(\frac{1}{2}\) метра.