Какое скалярное произведение имеют векторы BA и BC при условии, что на рисунке треугольник ABC является равнобедренным

Moroznaya_Roza_2919

57

Для решения этой задачи нам необходимо найти векторы BA и BC и затем вычислить их скалярное произведение.

1. Найдем векторы BA и BC.
- Вектор BA: данный вектор будет иметь ту же длину и направление, что и вектор AB, но с противоположной ориентацией. Таким образом, вектор BA можно получить, поменяв знаки координат вектора AB.
- Вектор BC: данный вектор имеет длину BC и направление, совпадающее с вектором BC.

2. Найдем координаты векторов BA и BC.
- Для нахождения координат вектора BA, вычтем из координат точки A координаты точки B:
\(\overrightarrow{{BA}} = \overrightarrow{{A}} - \overrightarrow{{B}}\).
- Для нахождения координат вектора BC, вычтем из координат точки C координаты точки B:
\(\overrightarrow{{BC}} = \overrightarrow{{C}} - \overrightarrow{{B}}\).

3. Найдем значения векторов BA и BC.
- Пусть координаты точки A равны (x1, y1), координаты точки B равны (x2, y2), а координаты точки C равны (x3, y3).
- Получим:
\(\overrightarrow{{BA}} = (x1 - x2, y1 - y2)\)
\(\overrightarrow{{BC}} = (x3 - x2, y3 - y2)\)

4. Вычислим скалярное произведение векторов BA и BC.
- Скалярное произведение вычисляется по формуле:
\(\overrightarrow{{BA}} \cdot \overrightarrow{{BC}} = x_{1} \cdot x_{3} + y_{1} \cdot y_{3}\)

Теперь рассмотрим конкретные значения:
- Так как треугольник ABC является равнобедренным, то вектор BC будет равен вектору BA с противоположным знаком.
- Значение угла A равно 67,5°, следовательно угол B также равен 67,5°.
- Из свойств равнобедренного треугольника известно, что угол B равен углу C.

Теперь можем перейти к решению:

1. Найдем координаты точек A, B и C.
- Пусть точка B имеет координаты (0, 0).
- Так как треугольник ABC равнобедренный и основание AC, то координаты точек A и C можно найти с помощью известных значений.
- Пусть точка A имеет координаты (x, 0). Так как треугольник ABC является равнобедренным, а угол B равен 67,5°, то угол C также равен 67,5°. Поэтому координаты точки C равны (2x, 0).

2. Найдем векторы BA и BC.
- Вектор BA: координаты точки A равны (x, 0), а координаты точки B равны (0, 0). Поэтому вектор BA будет иметь координаты (x - 0, 0 - 0) = (x, 0).
- Вектор BC: координаты точки C равны (2x, 0), а координаты точки B равны (0, 0). Поэтому вектор BC будет иметь координаты (2x - 0, 0 - 0) = (2x, 0).

3. Вычислим скалярное произведение векторов BA и BC.
- Подставляем значения координат в формулу скалярного произведения:
\(\overrightarrow{{BA}} \cdot \overrightarrow{{BC}} = (x, 0) \cdot (2x, 0) = x \cdot 2x + 0 \cdot 0 = 2x^{2}\)

Таким образом, скалярное произведение векторов BA и BC равно \(2x^{2}\).