Какое уравнение окружности имеет центр в начале координат и касательную прямую 3x - 4y + 20

Ягодка

56

Чтобы найти уравнение окружности с центром в начале координат и касательной прямой \(3x - 4y + 20 = 0\), нам понадобятся некоторые концепции геометрии и алгебры.

Для начала давайте рассмотрим уравнение касательной прямой \(3x - 4y + 20 = 0\). Это уравнение можно привести к нормальной форме, что позволит нам найти нормаль вектор этой прямой. Нормальная форма уравнения прямой имеет вид \(ax + by + c = 0\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты.

Перепишем уравнение \(3x - 4y + 20 = 0\) в нормальной форме, сделав некоторые преобразования:

\(3x - 4y + 20 = 0\)
\(-4y = -3x - 20\)
\(4y = 3x + 20\)
\(y = \frac{3}{4}x + 5\)

Теперь мы можем определить нормаль вектор \(n\) для нашей касательной прямой. Нормаль вектор - это вектор, перпендикулярный к прямой. Из уравнения \(y = \frac{3}{4}x + 5\) мы видим, что коэффициент при \(x\) равен \(\frac{3}{4}\). Это означает, что нормальный вектор \(n\) будет иметь координаты \((-\frac{3}{4}, 1)\).

Теперь перейдем к уравнению окружности с центром в начале координат. Общее уравнение окружности имеет вид \(x^2 + y^2 = r^2\), где \(r\) - радиус окружности.

Мы можем найти радиус, используя тот факт, что касательная прямая к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания. Это означает, что нормаль вектор этой прямой также является радиусом окружности.

Таким образом, радиус \(r\) равен длине нормального вектора \(n\):

\[r = \sqrt{(-\frac{3}{4})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + 1} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}\]

Теперь у нас есть радиус окружности и мы можем записать уравнение окружности:

\[x^2 + y^2 = \left(\frac{5}{4}\right)^2\]

Упростим его:

\[x^2 + y^2 = \frac{25}{16}\]

То есть уравнение окружности с центром в начале координат и касательной прямой \(3x - 4y + 20 = 0\) имеет вид:

\[x^2 + y^2 = \frac{25}{16}\]

Это и есть ответ. Уравнение окружности имеет центр в начале координат и радиус равный \(\frac{5}{4}\).