Какое уравнение описывает параболу конструкции моста, проходящую через точки (-50, 0), (0, 30) и (50

Oleg

10

Чтобы найти уравнение параболы, проходящей через данные точки, мы можем использовать общий вид уравнения параболы, известный как каноническая форма.

Уравнение параболы в канонической форме имеет следующий вид: \(y = a(x-h)^2 + k\), где (h, k) - координаты вершины параболы.

Нам нужно определить коэффициенты a, h и k.

Мы знаем, что мост проходит через точки (-50, 0), (0, 30) и (50, 0). Подставим эти значения в уравнение параболы:

Для точки (-50, 0):
\[0 = a((-50)-h)^2 + k\]

Для точки (0, 30):
\[30 = a((0)-h)^2 + k\]

Для точки (50, 0):
\[0 = a((50)-h)^2 + k\]

У нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными a, h и k. Решим эту систему пошагово.

Сначала решим первое уравнение для a:
\[0 = a((-50)-h)^2 + k\]

Учитывая, что у нас есть две другие точки, в которых мост проходит, заметим, что для обоих точек (0, 30) и (50, 0) уравнение принимает форму:
\[0 = a(x-h)^2 + k\]

Это означает, что мы можем записать два других уравнения в виде:
\[30 = a(0-h)^2 + k\]
\[0 = a(50-h)^2 + k\]

Распишем эти уравнения и перегруппируем коэффициенты:
\[a(-h)^2 + k = 30\]
\[a(50-h)^2 + k = 0\]

Упростим:
\[a(h)^2 + k = -30\]
\[a(h^2 - 100h + 2500) + k = 0\]

Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от квадратичных членов:
\[a(h^2 - 100h + 2500) + k - a(h^2) - k = -30\]

Упростим и сократим:
\[100ah = 30\]
\[ah = \frac{30}{100}\]
\[ah = \frac{3}{10}\]

Теперь подставим это значение а обратно в одно из исходных уравнений, чтобы найти h и k.

Из уравнения \(0 = a((-50)-h)^2 + k\) получаем:
\[0 = \frac{3}{10}((-50)-h)^2 + k\]

Упростим:
\[0 = \frac{3}{10}(h^2 + 100h + 2500) + k\]
\[0 = \frac{3}{10}h^2 + \frac{3}{10}(100h) + \frac{3}{10}(2500) + k\]
\[0 = \frac{3}{10}h^2 + \frac{3}{10}h + \frac{3}{4} + k\]

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной h и известными коэффициентами. Чтобы решить это уравнение, подставим в него значения точек (0, 30) и (50, 0).

1. Для точки (0, 30):
\[0 = \frac{3}{10}h^2 + \frac{3}{10}h + \frac{3}{4} + k\]
\[0 = \frac{3}{10} \cdot (0)^2 + \frac{3}{10} \cdot (0) + \frac{3}{4} + k\]
\[0 = \frac{3}{4} + k\]
\[k = -\frac{3}{4}\]

2. Для точки (50, 0):
\[0 = \frac{3}{10}h^2 + \frac{3}{10}h + \frac{3}{4} + k\]
\[0 = \frac{3}{10} \cdot (50)^2 + \frac{3}{10} \cdot (50) + \frac{3}{4} + k\]
\[0 = \frac{750}{10} + \frac{150}{10} + \frac{3}{4} + k\]
\[0 = \frac{750}{10} + \frac{150}{10} + \frac{3}{4} + k\]
\[0 = 75 + 15 + \frac{3}{4} + k\]
\[0 = 90 + \frac{3}{4} + k\]
\[-90 - \frac{3}{4} = k\]
\[k = -\frac{363}{4}\]

Теперь, когда мы нашли значения h и k, можем записать окончательное уравнение параболы:

\[y = \frac{3}{10}(x-h)^2 + k\]

С подстановкой найденных значений:
\[y = \frac{3}{10}(x-0)^2 - \frac{363}{4}\]

Таким образом, уравнение параболы, описывающее конструкцию моста, проходящую через точки (-50, 0), (0, 30) и (50, 0), имеет вид:

\[y = \frac{3}{10}x^2 - \frac{363}{4}\]