Какое значение имело стертое число, если на доске были записаны пять целых чисел - коэффициенты и корни квадратного

Облако

13

Чтобы найти значение стертого числа, мы должны проанализировать информацию, которая осталась на доске: пять целых чисел - коэффициенты и корни квадратного трехчлена, и осталось числа 2 и 3.

Поскольку речь идет о квадратном трехчлене, у него есть общий вид: \(ax^2 + bx + c\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - это коэффициенты, а \(x\) - переменная.

Мы знаем, что квадратный трехчлен имеет корни, поэтому можно предположить, что целые числа, оставленные на доске, являются значениями этих корней. Назовем их \(p\) и \(q\). Таким образом, квадратный трехчлен может быть факторизован следующим образом: \((x-p)(x-q)\).

Для вычисления \(a\), \(b\) и \(c\) мы можем использовать достоверные свойства квадратных трехчленов. В частности, мы знаем, что сумма корней равна отрицательному коэффициенту перед \(b\) и относится к \(-b/a\), а произведение корней равно коэффициенту перед \(c\) и относится к \(c/a\).

Итак, у нас есть следующие сведения:

Сумма корней: \(p + q\)

Произведение корней: \(pq\)

Мы также знаем, что на доске остались числа 2 и 3. Одно из них может быть суммой корней, а другое - их произведением.

Давайте проанализируем возможные варианты:

1. Пусть \(2\) - это \(p + q\), а \(3\) - это \(pq\). В этом случае, используя данные о сумме и произведении корней, мы можем составить следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
p + q = 2 \\
pq = 3 \\
\end{cases}
\]

Решая эту систему уравнений, можем найти значения \(p\) и \(q\). Однако, необходимо заметить, что это довольно сложная система, которая не имеет целочисленных решений для данного случая.

2. Пусть \(2\) - это \(pq\), а \(3\) - это \(p + q\). В этом случае, используя данные о сумме и произведении корней, мы можем составить следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
pq = 2 \\
p + q = 3 \\
\end{cases}
\]

Решая эту систему уравнений, можем найти значения \(p\) и \(q\).

Вычтем из второго уравнения первое:
\[p + q - pq = 3 - 2\]
\[p + q(1-p) = 1\]
\[p - p^2 + q - pq = 1\]
\[p^2 - p^2 + p + q - pq = 1\]
\[p(1 - p) + (p + q)(1-p) = 1\]
\[(p+q)(1-p) = 1\]
\[(3)(1-p) = 1\]
\[(1-p) = \frac{1}{3}\]
\[p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\]

Теперь, используя найденное значение \(p\), найдём \(q\) по первому уравнению:
\[pq = 2\]
\[\frac{2}{3} \cdot q = 2\]
\[q = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3\]

Таким образом, мы нашли значения \(p = \frac{2}{3}\) и \(q = 3\). Так как нам нужно определить значение стертого числа, мы можем использовать любое из найденных значений корней. В данном случае, стертое число - это 3.

Итак, стертое число, которое записано на доске, имеет значение 3, поскольку остались числа 2 и 3.