Какое значение коэффициента заполненности имеет один плотнейший слой шаровой упаковки? Ответ выразите в процентах

  • 18
Какое значение коэффициента заполненности имеет один плотнейший слой шаровой упаковки? Ответ выразите в процентах, округлив до целых.
Печенье
3
Коэффициент заполненности для плотнейшей упаковки шаров можно определить, разделив объем самой большой сферы в упаковке на общий объем упаковки.

При плотнейшей упаковке шаров, каждый следующий слой шаров находится в выемке между шарами предыдущего слоя. Таким образом, центры шаров верхнего слоя накрывают центры шаров нижнего слоя.

Для начала, рассмотрим одну шаровую упаковку. Представим, что шары покрываются вдоль пространственной оси. В таком случае, радиус каждого шара равен случайной числовой последовательности r = 1, 2, 3, 4, ...n. Общая длина оси будет равна сумме всех радиусов шаров: length=r1+r2+r3+...+rn.

Затем найдем объем самой большой сферы, которую можно поместить в эту упаковку. Радиус этой сферы будет равен половине длины оси: R=length2.

Объем сферы можно вычислить с использованием формулы: V=43πR3.

Теперь рассмотрим общий объем шаровой упаковки, который будет равен произведению площади основания упаковки на высоту упаковки. Плоское основание будет иметь форму прямоугольного треугольника, образованного осью и отрезками, соединяющими центры шаров из одной шаровой упаковки.

Площадь основания можно выразить как: S=34πR2.

Высота упаковки будет равна диаметру самой большой сферы: H=2R.

Тогда общий объем упаковки можно найти по формуле: Vупаковки=SH.

Наконец, найдем коэффициент заполненности (в процентах) для одной шаровой упаковки, разделив объем самой большой сферы на общий объем упаковки и умножив на 100: K=VVупаковки×100.

Теперь давайте решим задачу численно.

Пусть каждый шар имеет радиус 1. Если мы возьмем 4 шара и расположим их таким образом, чтобы центры образовывали квадрат, то получим ось длиной 2. Объем самой большой сферы будет равен V=43π13=43π.

Площадь основания будет равна S=34π12=34π.

Высота упаковки будет равна диаметру самой большой сферы, то есть 2.

Общий объем упаковки будет равен Vупаковки=SH=34π22=3π.

Теперь находим коэффициент заполненности: K=VVупаковки×100=43π3π×100=49×10044.44%.

Таким образом, значение коэффициента заполненности для одного плотнейшего слоя шаровой упаковки составляет около 44.44%.