Какое значение коэффициента заполненности имеет один плотнейший слой шаровой упаковки? Ответ выразите в процентах

Печенье

3

Коэффициент заполненности для плотнейшей упаковки шаров можно определить, разделив объем самой большой сферы в упаковке на общий объем упаковки.

При плотнейшей упаковке шаров, каждый следующий слой шаров находится в выемке между шарами предыдущего слоя. Таким образом, центры шаров верхнего слоя накрывают центры шаров нижнего слоя.

Для начала, рассмотрим одну шаровую упаковку. Представим, что шары покрываются вдоль пространственной оси. В таком случае, радиус каждого шара равен случайной числовой последовательности r = 1, 2, 3, 4, ...n. Общая длина оси будет равна сумме всех радиусов шаров: \( length = r_1 + r_2 + r_3 + ... + r_n \).

Затем найдем объем самой большой сферы, которую можно поместить в эту упаковку. Радиус этой сферы будет равен половине длины оси: \( R = \frac{length}{2} \).

Объем сферы можно вычислить с использованием формулы: \( V = \frac{4}{3} \pi R^3 \).

Теперь рассмотрим общий объем шаровой упаковки, который будет равен произведению площади основания упаковки на высоту упаковки. Плоское основание будет иметь форму прямоугольного треугольника, образованного осью и отрезками, соединяющими центры шаров из одной шаровой упаковки.

Площадь основания можно выразить как: \( S = \frac{3}{4} \pi R^2 \).

Высота упаковки будет равна диаметру самой большой сферы: \( H = 2R \).

Тогда общий объем упаковки можно найти по формуле: \( V_{\text{упаковки}} = S \cdot H \).

Наконец, найдем коэффициент заполненности (в процентах) для одной шаровой упаковки, разделив объем самой большой сферы на общий объем упаковки и умножив на 100: \( K = \frac{V}{V_{\text{упаковки}}} \times 100 \).

Теперь давайте решим задачу численно.

Пусть каждый шар имеет радиус 1. Если мы возьмем 4 шара и расположим их таким образом, чтобы центры образовывали квадрат, то получим ось длиной 2. Объем самой большой сферы будет равен \( V = \frac{4}{3} \pi \cdot 1^3 = \frac{4}{3} \pi \).

Площадь основания будет равна \( S = \frac{3}{4} \pi \cdot 1^2 = \frac{3}{4} \pi \).

Высота упаковки будет равна диаметру самой большой сферы, то есть 2.

Общий объем упаковки будет равен \( V_{\text{упаковки}} = S \cdot H = \frac{3}{4} \pi \cdot 2 \cdot 2 = 3\pi \).

Теперь находим коэффициент заполненности: \( K = \frac{V}{V_{\text{упаковки}}} \times 100 = \frac{\frac{4}{3} \pi}{3\pi} \times 100 = \frac{4}{9} \times 100 \approx 44.44 \%\).

Таким образом, значение коэффициента заполненности для одного плотнейшего слоя шаровой упаковки составляет около 44.44%.