Какое значение коэффициента заполненности имеет один плотнейший слой шаровой упаковки? Ответ выразите в процентах
Какое значение коэффициента заполненности имеет один плотнейший слой шаровой упаковки? Ответ выразите в процентах, округлив до целых.
Печенье 3
Коэффициент заполненности для плотнейшей упаковки шаров можно определить, разделив объем самой большой сферы в упаковке на общий объем упаковки.При плотнейшей упаковке шаров, каждый следующий слой шаров находится в выемке между шарами предыдущего слоя. Таким образом, центры шаров верхнего слоя накрывают центры шаров нижнего слоя.
Для начала, рассмотрим одну шаровую упаковку. Представим, что шары покрываются вдоль пространственной оси. В таком случае, радиус каждого шара равен случайной числовой последовательности r = 1, 2, 3, 4, ...n. Общая длина оси будет равна сумме всех радиусов шаров:
Затем найдем объем самой большой сферы, которую можно поместить в эту упаковку. Радиус этой сферы будет равен половине длины оси:
Объем сферы можно вычислить с использованием формулы:
Теперь рассмотрим общий объем шаровой упаковки, который будет равен произведению площади основания упаковки на высоту упаковки. Плоское основание будет иметь форму прямоугольного треугольника, образованного осью и отрезками, соединяющими центры шаров из одной шаровой упаковки.
Площадь основания можно выразить как:
Высота упаковки будет равна диаметру самой большой сферы:
Тогда общий объем упаковки можно найти по формуле:
Наконец, найдем коэффициент заполненности (в процентах) для одной шаровой упаковки, разделив объем самой большой сферы на общий объем упаковки и умножив на 100:
Теперь давайте решим задачу численно.
Пусть каждый шар имеет радиус 1. Если мы возьмем 4 шара и расположим их таким образом, чтобы центры образовывали квадрат, то получим ось длиной 2. Объем самой большой сферы будет равен
Площадь основания будет равна
Высота упаковки будет равна диаметру самой большой сферы, то есть 2.
Общий объем упаковки будет равен
Теперь находим коэффициент заполненности:
Таким образом, значение коэффициента заполненности для одного плотнейшего слоя шаровой упаковки составляет около 44.44%.