Какое значение коэффициента заполненности имеет один плотнейший слой шаровой упаковки? Ответ выразите в процентах

Печенье

3

Коэффициент заполненности для плотнейшей упаковки шаров можно определить, разделив объем самой большой сферы в упаковке на общий объем упаковки.

При плотнейшей упаковке шаров, каждый следующий слой шаров находится в выемке между шарами предыдущего слоя. Таким образом, центры шаров верхнего слоя накрывают центры шаров нижнего слоя.

Для начала, рассмотрим одну шаровую упаковку. Представим, что шары покрываются вдоль пространственной оси. В таком случае, радиус каждого шара равен случайной числовой последовательности r = 1, 2, 3, 4, ...n. Общая длина оси будет равна сумме всех радиусов шаров: $length=r_1+r_2+r_3+...+r_n$.

Затем найдем объем самой большой сферы, которую можно поместить в эту упаковку. Радиус этой сферы будет равен половине длины оси: $R=\frac{length}{2}$.

Объем сферы можно вычислить с использованием формулы: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.

Теперь рассмотрим общий объем шаровой упаковки, который будет равен произведению площади основания упаковки на высоту упаковки. Плоское основание будет иметь форму прямоугольного треугольника, образованного осью и отрезками, соединяющими центры шаров из одной шаровой упаковки.

Площадь основания можно выразить как: $S=\frac{3}{4}\pi R^2$.

Высота упаковки будет равна диаметру самой большой сферы: $H=2R$.

Тогда общий объем упаковки можно найти по формуле: $V_{\text{упаковки}}=S\cdot H$.

Наконец, найдем коэффициент заполненности (в процентах) для одной шаровой упаковки, разделив объем самой большой сферы на общий объем упаковки и умножив на 100: $K=\frac{V}{V_{\text{упаковки}}}\times 100$.

Теперь давайте решим задачу численно.

Пусть каждый шар имеет радиус 1. Если мы возьмем 4 шара и расположим их таким образом, чтобы центры образовывали квадрат, то получим ось длиной 2. Объем самой большой сферы будет равен $V=\frac{4}{3}\pi \cdot 1^3=\frac{4}{3}\pi$.

Площадь основания будет равна $S=\frac{3}{4}\pi \cdot 1^2=\frac{3}{4}\pi$.

Высота упаковки будет равна диаметру самой большой сферы, то есть 2.

Общий объем упаковки будет равен $V_{\text{упаковки}}=S\cdot H=\frac{3}{4}\pi \cdot 2\cdot 2=3\pi$.

Теперь находим коэффициент заполненности: $K=\frac{V}{V_{\text{упаковки}}}\times 100=\frac{\frac{4}{3}\pi }{3\pi }\times 100=\frac{4}{9}\times 100\approx 44.44\mathrm{\%}$.

Таким образом, значение коэффициента заполненности для одного плотнейшего слоя шаровой упаковки составляет около 44.44%.