Каков будет эффект на первую космическую скорость спутника при увеличении его массы в 4 раза?

Арсений

12

Для того чтобы рассчитать, как повлияет увеличение массы спутника на его первую космическую скорость, нам необходимо обратиться к закону сохранения энергии.

Первая космическая скорость (V1) - это минимальная скорость, которую спутник должен развить, чтобы перейти на круговую орбиту вокруг Земли без дополнительного тягового усилия.

Закон сохранения энергии гласит, что сумма кинетической и потенциальной энергии тела в замкнутой системе остается постоянной.

Начнем с формулы для кинетической энергии:
\[K = \frac{1}{2}mv^2\]

где K - кинетическая энергия, m - масса спутника, v - скорость спутника.

Также у нас есть формула для потенциальной энергии:
\[P = -\frac{GMm}{r}\]

где P - потенциальная энергия, G - гравитационная постоянная, M - масса Земли, m - масса спутника, r - расстояние от центра Земли до спутника.

При переходе спутника на круговую орбиту, его потенциальная энергия равна нулю, поэтому можем записать:
\[K = \frac{GMm}{2r}\]

Теперь, чтобы найти первую космическую скорость, мы равняем кинетическую энергию и потенциальную энергию:
\[\frac{GMm}{2r} = \frac{1}{2}mv^2\]

Нам нужно найти, как изменится скорость (V2), если масса (m2) увеличивается в 4 раза. Обозначим начальную скорость как V1 и массу как m1.

Теперь мы можем записать уравнение для первой и второй версии спутника:
\[\frac{GMm_1}{2r} = \frac{1}{2}m_1V_1^2\]
\[\frac{GMm_2}{2r} = \frac{1}{2}m_2V_2^2\]

Поскольку m2 = 4*m1, мы заменяем m2 во втором уравнении:
\[\frac{GM(4m_1)}{2r} = \frac{1}{2}(4m_1)V_2^2\]

Упрощая это уравнение, мы получаем:
\[\frac{GMm_1}{r} = 2m_1V_2^2\]

Далее, сокращаем m_1:
\[\frac{GM}{r} = 2V_2^2\]

Теперь мы можем получить выражение для V2:
\[V_2 = \sqrt{\frac{GM}{2r}}\]

Таким образом, увеличение массы спутника в 4 раза не повлияет на его первую космическую скорость. Это связано с тем, что масса сокращается в выражении для скорости, и эффект от изменения массы исчезает.