Каков коэффициент подобия K для двух подобных треугольников, чьи площади относятся как 9:16? Запишите ответ в виде

Сердце_Океана

12

Для нахождения коэффициента подобия \(K\) для двух треугольников, нам необходимо сравнить отношение их площадей. Дано, что площади треугольников относятся как 9:16.

Пусть один треугольник имеет площадь \(S_1\), а другой треугольник имеет площадь \(S_2\). Дано, что \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{9}{16}\).

Мы знаем, что площадь треугольника пропорциональна квадрату длины его стороны. Таким образом, пусть длины сторон первого треугольника будут \(a_1\), \(b_1\), и \(c_1\), а длины сторон второго треугольника будут \(a_2\), \(b_2\), и \(c_2\).

Тогда имеем следующие соотношения:

\[
\frac{S_1}{S_2} = \frac{(a_1 \cdot b_1)/2}{(a_2 \cdot b_2)/2} = \frac{a_1 \cdot b_1}{a_2 \cdot b_2} \quad \text{(1)}
\]

Для двух подобных треугольников, соответствующие стороны пропорциональны. Пусть \(k\) - коэффициент пропорциональности. Тогда:

\[
\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k \quad \text{(2)}
\]

Из соотношения (2) следует, что:

\[
\frac{a_1 \cdot b_1}{a_2 \cdot b_2} = \frac{k \cdot a_2 \cdot k \cdot b_2}{a_2 \cdot b_2} = k^2 \quad \text{(3)}
\]

Теперь соединим выражения (1) и (3):

\[
k^2 = \frac{S_1}{S_2} = \frac{9}{16}
\]

Чтобы найти значение \(k\), возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

\[
k = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} = 0.75
\]

Итак, коэффициент подобия \(K\) для двух подобных треугольников, чьи площади относятся как 9:16, равен 0.75.