Каков коэффициент заполненности одного плотнейшего слоя шаровой упаковки?

Вулкан

53

Коэффициент заполненности одного плотнейшего слоя в шаровой упаковке можно определить, используя геометрическое рассуждение.

Представьте себе, что у вас есть плоская поверхность, на которую вы собираетесь уложить шары. Для начала, поставьте шар на эту поверхность так, чтобы его центр был точно над центром поверхности. Затем начните окружать его другими шарами, так чтобы они были максимально плотно упакованы вокруг него.

Когда вы окружаете шары вокруг первого, каждый следующий шар должен касаться трех других шаров, уже находящихся на поверхности. Расстояние между центрами соседних шаров будет в точности равно сумме их радиусов.

Теперь давайте рассмотрим площадь, занимаемую одним шаром в этом слое. Предположим, что радиус шара равен \( R \), тогда площадь, занимаемая им, будет равна площади его поверхности, которая вычисляется по формуле \( S = 4\pi R^2 \).

Теперь приступим к определению площади, занимаемой всеми шарами в одном слое. Поскольку каждый шар касается трех соседних идентичных шаров, у нас будет три шара на каждое опорное место. Таким образом, площадь, занимаемая всеми шарами в одном слое, будет равна площади поверхности одного шара, умноженной на количество шаров, расположенных на опорной площадке.

Теперь нам нужно найти количество шаров, расположенных на опорной площадке. Мы знаем, что расстояние между центрами соседних шаров составляет \( 2R \). Поэтому шары будут равномерно покрывать всю площадь опорной поверхности. Таким образом, можно предположить, что плотность шаров на опорной площади будет такая же, как плотность окружающих шаров на всей поверхности.

В плотнейшей упаковке шаров плотность, то есть отношение занимаемой площади шаров к общей площади, составляет около 0,7405 (или около 74,05%). Таким образом, коэффициент заполненности одного плотнейшего слоя шаровой упаковки составляет примерно 0,7405 или 74,05%.

Теперь, прежде чем завершить, давайте посмотрим на формулу для вычисления коэффициента заполненности \( K \):

\[ K = \frac{S_{\text{шара}} \times N_{\text{шаров}}}{S_{\text{опоры}}} \]

где \( S_{\text{шара}} \) - площадь поверхности одного шара, \( N_{\text{шаров}} \) - количество шаров на опорной площадке, \( S_{\text{опоры}} \) - площадь опорной поверхности.

В нашем случае, \( S_{\text{шара}} = 4\pi R^2 \), \( N_{\text{шаров}} = 6 \) (так как каждое опорное место содержит шесть шаров), и \( S_{\text{опоры}} = 6R^2 \) (поскольку площадь опорной поверхности составляет 6 раз площадь одного шара).

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу и получить окончательный ответ:

\[ K = \frac{4\pi R^2 \times 6}{6R^2} = \frac{24\pi R^2}{6R^2} = \frac{4\pi}{1} = 4\pi \approx 12,57 \]

Таким образом, коэффициент заполненности одного плотнейшего слоя шаровой упаковки составляет примерно 12,57.