Каков косинус угла между векторами MN, если М(2; -1), N(-3; -6)?

Vodopad

32

Для начала, нам необходимо найти координаты вектора MN. Это можно сделать, вычислив разность координат конечной точки N и начальной точки M.

Координаты вектора MN:

\[
\vec{MN} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)
\]

где \(x_1, y_1\) - координаты точки M, а \(x_2, y_2\) - координаты точки N.

В данном случае, у нас:

\(x_1 = 2\), \(y_1 = -1\), \(x_2 = -3\), \(y_2 = -6\)

Вычислим разность:

\[
\vec{MN} = (-3 - 2, -6 - (-1)) = (-5, -5)
\]

Теперь, чтобы найти косинус угла между векторами MN, нам понадобится использовать формулу скалярного произведения векторов:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\vec{MN} \cdot \vec{AB}}}{{|\vec{MN}| \cdot |\vec{AB}|}}
\]

где \(\vec{MN}\) - вектор MN, а \(\vec{AB}\) - любой другой вектор.

Для удобства расчетов, мы можем выбрать \(\vec{AB} = (1, 0)\). Теперь посчитаем скалярное произведение и длины векторов:

\(\vec{MN} \cdot \vec{AB} = (-5 \cdot 1) + (-5 \cdot 0) = -5\)

\(|\vec{MN}| = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)

\(|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1\)

Теперь подставим значения в формулу:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\vec{MN} \cdot \vec{AB}}}{{|\vec{MN}| \cdot |\vec{AB}|}} = \frac{{-5}}{{5\sqrt{2} \cdot 1}} = -\frac{1}{{\sqrt{2}}}
\]

Таким образом, косинус угла между векторами MN равен \(-\frac{1}{{\sqrt{2}}}\).